Примеры решения

Задача 1. Постройте график функции и укажите нули функции и промежутки знакопостоянства: 1) у = 2 sin х; 2) у = sin 2х.

Комментарий

Графики всех данных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графика функции f (x) = sin х (табл. 4). Таким образом, графиком каждой из этих функций будет синусоида, полученная :

 1) y=2sinx=2f(x)растяжением графика y = sin x вдвое вдоль оси Оу;

 2) y=sin2x=f(2x)  сжатием графика y = sin x вдвое вдоль оси Ох.

Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. Чтобы записать промежутки знакопостоянства функции, заметим, что функция у = 2 sin х периодическая с периодом T = 2π, а функция у = sin 2х периодическая с периодом T=π. Поэтому для каждой функции точно выяснить на одном периоде, где значения функции положительны (график находится выше оси Ох) и где отрицательны (график находится ниже оси Ох), а потом полученные промежутки повторить через период.

Решение

1) График функции у = 2 sin х получаем из графика функции у = sin х растяжением его вдвое вдоль оси Оу.

Нули функции: x = πk, k ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства:

2) График функции у = 2 sin2х получаем из графика функции у = sin х сжатием его вдвое вдоль оси Ох.

Задача 2 Расположите в порядке возрастания числа: sin 1,9; sin 3; sin (–1); sin (–1,5).

 

Комментарий

Для расположения данных чисел в порядке их возрастания выясним, какие из них положительны, а какие отрицательны, а затем сравним между собой отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, учитывая известные промежутки возрастания и убывания функции

 

Решение

Числа  и  положительны, так как точки P_1,9  и P_3 находятсяu во II четверти. Числа sin (–1) и sin (–1,5) отрицательны, так как точки P_(-1)  и P_(-1,5)  находятся в IV четверти.

Учитывая, что π/2<1,9<π, π/2<3<π и что функция х на промежутке

 [π/2;- π]убывает, из неравенства 1,9 < 3 получаем .

Также - π/2<-1<0 ,  -  π/2<-1,5<0. Функция sin х на промежутке

[-π/(-2); 0]возрастает. Учитывая, что 1>-1,5  получаем sin (–1) > sin (–1,5). Таким образом, в порядке возрастания эти располагаются так: sin (–1,5), sin (–1), sin 3,  sin 1,9. 

Замечание. Для сравнения данных чисел можно также изобразить точки  P_1,9  , P_(3 ),P_(-1)  , P_(-1,5)на единичной окружности и сравнить соответствующие ординаты (выполните такое решение самостоятельно).

 Задача 3 Постройте график функции: 1) у = | sin х | 2 у = sin | х |.

Комментарий

Графики данных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графика функции f (x) = sin х. Напомним соответствующие преобразования:

1) у = | sin х | = | f (x) | — выше оси Ox (и на самой оси) график функции

 y = sin x остается без изменений, часть графика, расположенная ниже оси Ox, отображается симметрично относительно оси Ox;

2) у = sin | х | = f (| x |) — справа от оси Oy (и на самой оси) график функции

 y = sin x остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Oy. Решение  Построим сначала график функции  = f (x) = sin х:

       

Задача 4 Постройте график функции и укажите промежутки ее убывания и возрастания:

1)y = cos⁡(x-π/5 )                            2) у = –tg х.

Комментарий

Графики данных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графиков функций:

1) f (x) = cos х; 2) ϕ (x) = tg х.

 Тогда получаем графики функций:

 1) y = cos⁡(x-π/5  )=f(x-π/6)  — параллельным переносом графика функции f (x) вдоль оси Ох на π/6 единиц;

2) y = –tg х = –ϕ (x)— симметрией графика функции ϕ (x) относительно оси Ох. Чтобы записать промежутки убывания и возрастания функций, отметим, что функция y = cos⁡(x-π/5 )  периодическая с периодом T = 2π, а функция у = –tg х периодическая с периодом T = π. Поэтому для каждой из функций достаточно выяснить на одном периоде, где она убывает и где возрастает, а затем полученные промежутки повторить через период.

Решение

1)График функции y = cos⁡(x-π/5) получаем из графика функции

у = cos х параллельным переносом вдоль оси Ох на π/6 единиц.

2) График функции у = –tg х получаем симметричным отображением графика функции у = tg х относительно оси Ох.

Вопросы для контроля

1. а) Постройте график функции у = sinх. Пользуясь графиком, охарак­

теризуйте свойства этой функции.

б*) Обоснуйте свойства функции у = sinх.

2. а) Постройте график функции у = cosх. Пользуясь графиком, охарак­теризуйте свойства этой функции.

   б*) Обоснуйте свойства функции у = cosх

   1. а) Постройте график функции y= tgх. Пользуясь графиком, охаракте­ризуйте свойства этой функции.

   б*) Обоснуйте свойства функции y= tgх.

    

   2. а) Постройте график функции y = ctg х. Пользуясь графиком, охарактеризуйте свойства этой функции.

         б* ) Обоснуйте свойства функции у = ctg х.

    

    

    

   Упражнения