§ 11. Радианная мера углов
1. Понятие угла
В геометрии
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.
В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.
2. Измерение углов
Градусная мера угла
часть развернутого угла)
Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].
Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота
α ∈ (–×; +×).
Объяснение и обоснование
1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.
Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.
2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.
В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).
При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.
Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от
.
Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.
За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.
В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).
В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.
В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.
Если рассмотреть некоторую окружность,
то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.
Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.
Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна 
радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так:
Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).
Аналогично можно вычислить и величины других углов.
В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:
Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:
Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .
Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.
Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3 и 3π/4 .
В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:
Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.
Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».
Вопросы для контроля
1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?
2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.
3. Как можно определить угол в 1°?
4. Дайте определение угла в 1 радиан.
5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?
6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения
1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;
4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;
7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.
2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?
3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:
1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.
4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:
1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;
4) 7 6 π; 5) − π 18 ;
6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:
1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.
6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:
1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.