Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

R(sin x, cos x)− рациональная функция от sin x и cos x . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от x универсальной тригонометрической подстановкой:

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию R(sin x, cos x) −  к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

Где m и n – целые положительные числа. Если m и n – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

Пример 1.

III. Если одно из чисел m или n – нечетное, или m и n – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену cos x = t (или sin x = t) – sin xdx = dt

 

Пример 2.

Пример 3.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Найдем коэффициенты разложения из системы:

Проинтегрируем:

Если m и n – дробные либо целые (отрицательные) числа и m+n – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка –

Пример 4.

V. Интегралы вида

вычисляются при помощи подстановки

Пример 5.

VI. Интегралы вид

где k,l, – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 6.