Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

   Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0,делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

   Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280:10=28.

   При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т.е. последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

   Число 10=2*5. Поэтому число 10 делится без остатка на 2, и на 5.

Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

   Например, 60=6*10=6*(2*5)=(6*2)*5=12*5, значит, 60:5=12.

А из того что 60=6*(2*5)=(6*5)*2=30*2, получаем, что 60:2=30.

   Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например:  246=240+6, 1435=1340+5. Так как полные десятки делятся на 5, то и все число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

   Например,числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

   Числа, делящиеся без остатка на 2, называются чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называются нечётными. Из однзначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 - нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т.е. они четны). Значит, любое натуральное число чётно лишь в том случае, когда в рязряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда  в разряде единиц стоит нечётная цифра.

   Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 чётные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечётные.

Признаки делимости на 9 и на 3

   Узнаем,не выполняя деления, можно ли 846 яиц разложить в 9 корзин поровну.

   В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка и 6 единиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то в каждую корзину можно положить 11 яиц, а одно яйцо останется. От восьми сотен останется 8 яиц.

   Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток яиц, то в каждую корзину  надо положить одно яйцо и одно яйцо останется. От четырёх десятков останется 4 яйца.

   Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен, 4 яйца от десятков и еще 6 яиц: 8+4+6=18. Число 18 является суммой цифр числа 846. Так как 18 яиц можно разложить поровнц в 9 корзин ( по 2 яйца в каждую), то и все 846 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что число 846 делится без остатка на 9.

   Пример 1. Число 75 455 делится на 9, так как сумма его цифр: 7+6+4+5+5=27 - делится на 9.

   Пример 2. Число 51 634 не делится на 9, так как сумма его цифр: 5+1+6+3+4=19 - не делится на 9.

   Так же обосновывается признак делимости на 3.