Основные правила решения неравенств. Алгебра 9 класс

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:
 
 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.
 
Пример:
Решить неравенство 8x +11<3x4
Решение.
1. Перенесём член 3x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у  3x  и у  11.
Тогда получим
8x+3x <411
5x<15
2. Разделим обе части неравенства 5x<15 на отрицательное число 5, при этом знак неравенства <, поменяется на >, т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:
5x<15|:(5)
x>15:(5)
x>3
 x>3 — решение заданного неравенства.

 

Обрати внимание!
Для записи решения можно использовать два варианта:  x>3 или в виде числового промежутка.
Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
 
x(3;+)
Ответ:  x>3 или x(3;+)
 
 

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

 

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

  1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

  1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x1) (x - x2) > 0 (< 0).

  1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
  2. Определить знак a (x - x1) (x - x2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

  • Решить неравенство. x2 + x - 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x - 6)2 > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

  1. 1 + х - 2х² < 0.                              Ответ:
  2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
  3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
  4. 2х² - 12х + 18 > 0.          Ответ:
  5. При каких значениях a неравенство

      x² - ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

  1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

an (x - x1) (x - x2) ·…· (x - xn) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x4 - 6x3 + 11x2 - 6x < 0.

Решение:

x4 - 6x3 + 11x2 - 6x = x (x3 - 6x2 + 11x -6) = x (x3 - x2 - 5x2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)( x2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)5 (x + 2) (x - ½)7 (2x + 1)4 <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

  1. (5х - 1) (2 - 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
  2. x3 + 5x2 +3x - 9 ≤ 0. Ответ:
  3. (x - 3) (x - 1)² (3x - 6 - x²) < 0. Ответ:
  4. (x² -x)² + 3 (x² - x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

  1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
  2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

  1. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
  2. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
  3. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
  4. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.

 

Основные правила решения неравенств. Алгебра 9 класс

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:
 
 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.
 
Пример:
Решить неравенство 8x +11<3x4
Решение.
1. Перенесём член 3x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у  3x  и у  11.
Тогда получим
8x+3x <411
5x<15
2. Разделим обе части неравенства 5x<15 на отрицательное число 5, при этом знак неравенства <, поменяется на >, т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:
5x<15|:(5)
x>15:(5)
x>3
 x>3 — решение заданного неравенства.

 

Обрати внимание!
Для записи решения можно использовать два варианта:  x>3 или в виде числового промежутка.
Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
 
x(3;+)
Ответ:  x>3 или x(3;+)
 
 

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

 

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

  1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

  1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x1) (x - x2) > 0 (< 0).

  1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
  2. Определить знак a (x - x1) (x - x2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

  • Решить неравенство. x2 + x - 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x - 6)2 > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

  1. 1 + х - 2х² < 0.                              Ответ:
  2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
  3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
  4. 2х² - 12х + 18 > 0.          Ответ:
  5. При каких значениях a неравенство

      x² - ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

  1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

an (x - x1) (x - x2) ·…· (x - xn) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x4 - 6x3 + 11x2 - 6x < 0.

Решение:

x4 - 6x3 + 11x2 - 6x = x (x3 - 6x2 + 11x -6) = x (x3 - x2 - 5x2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)( x2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)5 (x + 2) (x - ½)7 (2x + 1)4 <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

  1. (5х - 1) (2 - 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
  2. x3 + 5x2 +3x - 9 ≤ 0. Ответ:
  3. (x - 3) (x - 1)² (3x - 6 - x²) < 0. Ответ:
  4. (x² -x)² + 3 (x² - x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

  1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
  2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

  1. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
  2. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
  3. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
  4. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.