Числовые функции

1. Основные понятия

Функцией называется закон f, по которому каждому элементу x∈X ставится в соответствие единственный элемент y.

Обозначения:

Примеры функций:

1. (график функции – парабола);

2. (функция обратная пропорциональность, график функции – гипербола);

3. (линейная функция, график функции – прямая);

4. (квадратичная функция, график функции – парабола);

5. (график функции – ветвь параболы);

6. .

Рис. 1. График функции .

Функций много, но все задаются по правилу: каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Например, для функции при .

2. Область определения функции

Понятие функции является важнейшим в математике. Важны все элементы, задающие функцию.

Множество всех допустимых значений аргумента называется областью определения функции и обозначается . E(f) - область значения.

В случае, когда , функцию называют числовой.

Рассмотрим несколько примеров на нахождение естественной области определения функции (так говорят, если множество не задано).

1. . Ответ: .

2. . Ответ: , т.к. нельзя делить на 0.

3. . Ответ: , т.к. нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

Область определения функции – важнейший элемент функции. Если при задании функции множество не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения .

Примеры.

1. Найти область определения и построить график функции .

Ответ: (естественная область определения).

Графиком функции является парабола (см. Рис.1).

2. Найти область определения и построить график функции .

Ответ: .

Графиком функции является часть параболы (см. Рис.2).

Рис. 2. График функции .

Область определения всегда присутствует при задании функции: то ли в явном виде, то ли считается естественной областью определения.

3. Область значений функции

При изменении аргумента из области определения функции значения функции меняются на своем множестве.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции, которая обозначается .

Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции.

1. , ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. , ; . Ответ: . См. Рис. 2.

Рис. 3.

4. Основные свойства

Рассмотрим функцию и «прочтем» её график (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции

1. – проекция на ось ;

2. – проекция на ось ;

3. – корни (нули функции);

4. ;

5. .

В целом функция не монотонна. Рассмотрим промежутки монотонности.

6. возрастает при , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции (монотонность «в горку»);

7. убывает при , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (монотонность «под горку»).

Возрастающая функция

Рис. 2. График возрастающей функции

Определение. Функцию называют возрастающей на множестве , если для любых и из множества , таких, что , выполняется неравенство .

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует большее значение функции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Определение. Функцию называют убывающей на множестве , если для любых множества, таких, что , выполняется неравенство.

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (см. рис. 3).

Рис. 3. График убывающей функции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. График ограниченной снизу функции

Определение. Функцию называют ограниченной снизу на множестве , если все значения функции на множестве больше некоторого числа (иными словами, если существует число такое, что для любого значения выполняется неравенство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Определение. Функцию называют ограниченной сверху на множестве, если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число такое, что для любого значения выполняется неравенство ) (см. рис. 5).