§ 4. Применение производной к исследованию функций

п. 1. Интервалы монотонности. Экстремумы

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x₂>x₁ этого промежутка выполняется условие f(x₂) > f(x₁)(f (x₂) < f (x₁)).

Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выпол­няется условие f(х) < f(х₀)      (f (х) > f(х₀), х¹ х₀.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции.

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируе­мая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .

Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а_, b). Пусть точки х и х+х принадлежат (а_, b). Если >0, то f(x+) > f(x); если <0, то f (x+ ) < f(x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

Теорема 2. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть >0 для всех хΠ(а,b). Рассмотрим два произвольных значения x₂ > x₁, принадлежащих [а, b]. По формуле Лагранжа  х₁<с < х₂.(с) > 0 и х₂ – х₁ > 0, поэтому >0, откуда >, то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция  имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x³ не имеет экс­тремумов, хотя ее производная = 0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная  при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c  меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале (c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная  не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

п. 2. Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную (x) во всех точках интервала (а_, b). Если во всех точках этого интервала < 0, то график в (а_, b) выпуклый; если же > 0 – вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, что< 0 и докажем, что гра­фик выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М₀ с абсциссой х₀Π(а, b) и проведем через точку М₀ касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы x ордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции нахо­дится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М₀имеет вид У – f (х₀) = f (х₀).(х-х₀). Здесь через У обозначена ордината касательной, соот­ветствующая абсциссе x.

Разность ординат графика и касательной при одной и той же абсциссе x равна

или

Применяя к разности f(х) -f(х₀) формулу Лагранжа, получаем

 где c заключено между х и х₀.

К разности тоже применим формулу Лагранжа, получим

, где c₁ заключено между х₀ и c, а, следовательно, между х₀ и х. По условию (x)< 0 в интервале (а; b),значит (c₁)< 0. Разности х- х₀ и c – х₀ одного знака, так как c заключено между х₀ и х, значит (х- х₀)(c – х₀)> 0.

Поэтому у – У < 0 или у <У. Мы доказали, что для любой точки x интервала (а_, b) ордината касательной больше ординаты графика, то есть график выпуклый. Аналогично доказывается, что при > 0 график вогнутый.

Теорема 6. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная  непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х₀, то точка (х₀; f(х₀)) является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, (х)< 0 в интервале (х₀-e; х₀) и > 0 в ин­тервале (х₀; х₀+e), где e – положительное число. В этом случае график функции в интервале (х₀–ε; х₀) выпуклый, а в интервале (х₀; х₀+ε) – вогнутый. Следовательно, точка (х₀; f(х₀)) по определению является точкой перегиба.

Теорема 7. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) имеет в интервале (a, b) непрерывную вторую производную f''(x) и пусть точка х₀(a, b) является абсциссой точки перегиба графика данной функции. Тогда f''(x₀) = 0.

Доказательство. Предположим противное: f''(x₀)0, например, для определенности f''(x₀)>0. Тогда в силу непрерывности f''(x₀)>0 в некоторой окрестности точки х₀. Следовательно, в этой окрестности график вогнутый, но это противоречит тому, что х₀ – абсцисса точки перегиба. Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Могут встретиться случаи, когда в точке х₀ вторая производная непрерывной функции не существует, однако точка является абсциссой точки перегиба. Например, для функции у =  у'' = 10/(9) у''(0) не существует. Очевидно, что у''<0 при х(-∞;0) и у''>0 при х(0;+∞), то есть точка (0; 0) является точкой перегиба.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции второго порядка. Как мы отметили, не все такие точки являются абсциссами точек перегиба.

п. 3. Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Для нахождения вертикальных асимптот, то есть асимптот, параллельных оси OY, надо найти точки разрыва функции II рода. Если х₀ – такая точка, то хотя бы один из пределов f(x) или f(x) равен бесконечности. Это означает, что прямая х = х₀ – вертикальная асимптота. Если функция не имеет точек разрыва II рода, то график функции не имеет вертикальных асимптот.

Пусть график функции y = f(x) имеет невертикальную асимптоту. Уравнение невертикальной прямой можно записать в виде y = kx+b. Пусть М(х,у) – текущая точка графика. Опустим из точки М перпендикуляр МN на асимптоту. Из определения асимптоты следует: MN = 0. Из ∆М₁ MN получаем М₁М = , где a – угол между асимптотой и осью ОХ. Поскольку a – величина постоянная, то . Заметим, что М₁М = РМ₁-РМ =у_{асимпт.}-у_{графика} = (kx+b)-f(x), поэтому  Последнее равенство означает, что функция  является бесконечно малой при . Разделим обе части последнего равенства на х и перейдем к пределу при , получим . Так как 

Определим теперь b. Так как  то  Переходя к пределу при , получаем

Если k или b не существуют, то график функции не имеет невертикальной асимптоты.

В частном случае при k = 0 получается горизонтальная асимптота. Аналогично находят асимптоты при x. График может иметь различные асимптоты при и x или иметь только одну из них.

п. 4. План исследования функции и построение графика

Исследование функции удобно проводить по следующему плану.

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Четность, нечетность функции.

4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

5. Невертикальные асимптоты.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8. Дополнительные точки, (по мере необходимости).

9. Построение графика.

Подчеркнем, что пункт 8 не является необходимым. его выполняют, если необходимо уточнить график.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения ().

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда  и . Итак, (0;0) и – точки пересечение графика с осями координат.

3. у(-х) =  – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты

Найдем k и b, если они существуют.  поэтому при невертикальной асимптоты не существует. Аналогично можно показать, что и при невертикальных асимптот не существует.

6. Вычислим  Найдем критические точки:  х = 1 – критическая точка. Кроме того, y' не существует при х = 0 – тоже критическая точка. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

Таким образом, на интервалах (-и (1;+ функция возрастает, на интервале (0;1) убывает.

у_max = f(0) = 0, y_min = f(1)= -1.

7. Вычислим

у'' не обращается в нуль ни при каком значении х и у'' не существует при х=0. х=0 – критическая точка второго порядка. Нанесем критическую точку на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

Таким образом, на интервалах ( и  график функции вогнутый, точек перегиба нет.

8. Заметим, что , то есть в точке (0;0) график имеет вертикальную касательную.

Пример 2. Исследовать функцию y = x-2arctg x и построить ее график.

1. Область определения (.

2. Пусть х = 0, тогда у = 0-2arctg 0 = 0.

Пусть y = 0, тогда х-2arctg x = 0; х = 2arctg x – решить такое уравнение точнo не удается.

Найдена точка (0;0) пересечения с осями координат.

3.  функция нечетная.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты.

y = kx+b

 – асимптота при .

Выясним, есть ли асимптоты при 

.

 – асимптота при 

6. y'

 и х = 1 – критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

На интервалах  функция возрастает, на интервале

(-1;1)– убывает.

7.  y'' = 0; 4х = 0; х = 0 – критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

На интервале ( график выпуклый, на интервале  – вогнутый.

х = 0 – абсцисса точки перегиба.

8. .

Пример 3. Исследовать функцию  и построить ее график.

1. Область определения  так как при  и х=2 в знаменателе получается нуль.

2. Пусть х=0, тогда у=0.

Пусть у=0, тогда 

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

3. = – функция нечетная.

4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены.  ;   Это означает, что в точках  и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые  и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

5. Найдем невертикальные асимптоты.

  следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при  и .

6.        Вычислим  при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки  и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

На интервалах  функция убывает. Экстремумов нет.

7.      Вычислим 

y'' = 0; ; 

х = 0;  х = 2 – критические точки второго порядка.

На интервалах  и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и  – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.