§ 2. Дифференциал функции

Рассмотрим функцию у = х³. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Dу = (х+Dх)³-х³ = х³+3х²Dх+3х(Dх)²+(Dх)³-х³ = =3х²Dх+(3х(Dх)²+(Dх)³).

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: 3х²Dх – линейного относительно Dх и 3х(Dх)²+(Dх)³ – нелинейного относительно Dх. При Dх®0 оба слагаемых, очевидно, являются бесконечно малыми. Однако второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Действительно, .

 Обозначим 3х(Dх)²+(Dх)³ = 0(Dх). Таким образом, Dу = 3х²Dх+0(Dх). При малых Dх получаем: Dу»3х²Dх.

Определение. Пусть приращение Dу функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

Dу = АDх+0(Dх),                                                                                          (1)

где Dх – приращение аргумента; А- величина, не зависящая отDх; 0(Dх) – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх при Dх®0, то есть . Тогда главная часть приращения (1) функции А×Dх, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции в точке х и обозначается dy. Итак, по определению dy = А×Dх.

Теорема 1. (О связи между существованием производной и существованием дифференциала). Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал. Это означает, что ее приращение в этой точке можно представить в виде: Dу = АDх+0(Dх). Разделим обе части последнего равенства на Dх и перейдем к пределу при Dх®0. Получим . Но , следовательно,  существует и. Отметим, что выражение дифференциала функции принимает вид: dy =f'(x) Dx.

Достаточность. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х производную . По свойству предела функции , где - бесконечно малая функция при Dх®0. Умножим обе части последнего равенства на Dх, получим . Действительно, . Мы получили: , что и означает, что функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал dy = f'(x) Dx.Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим функцию у = х. Ее дифференциал равен:

dy = dx = x'Dx = Dx. Таким образом, дифференциал независимой переменной равен ее приращению dx = Dx. Тогда выражение дифференциала функции можно записать в виде: dy = f'(x) dx. Заметим, что .

Свойства дифференциала

1.            Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

 (при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

Пример. y = x³sin2x. Найти dy.

dy = (3x²sin2x+2x³cos2x)dx

2. Инвариантность формы дифференциала

Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = g(t), то есть у является сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y'_tdt. По правилу дифференцирования сложной функции имеем y'_t = y'_xx'_t. Отсюда dy = y'_xx'_tdt = y'_xdx = f'(x)dx, так как x'_tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy = f'(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²у или d² f(x). Таким образом, по определению d²у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).

 Итак, 

Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y = f(x) называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dⁿy = d(d^n-1y). Легко установить, что dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Из последней формулы следует .

Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dⁿy при n>1 не обладает свойством инвариантности, а значит и . Однако часто и для сложной функции f⁽ⁿ⁾(x) обозначают , понимая  не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f⁽ⁿ⁾(x).