Объём и практические задачи с пространственными телами

Объём, заполнение и изменение размеров. Изучите рисунок, затем проверьте формулы на конкретной модели.

Объём тела

Объём показывает, сколько места занимает тело. Единичный куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Если коробка заполнена такими кубиками без пустот и наложений, её объём в см³ равен числу кубиков. Площадь описывает поверхность, а объём — внутреннее пространство.

Слои

В прямоугольном слое a рядов по b кубиков находится a · b кубиков. Если одинаковых слоёв c, всего a · b · c. Например, в слое 3 × 4 кубика, слоёв пять: 3 · 4 · 5 = 60. Слои не должны перекрывать друг друга.

Формулы

Объём прямоугольного параллелепипеда V = abc. Объём куба V = a³. При измерениях 3, 4, 5 см объём равен 60 см³. Для куба ребра 3 см получаем 27 см³. Порядок множителей не влияет на результат; единицы всех длин должны совпадать.

Неизвестная высота

Площадь основания прямоугольной коробки равна ab, поэтому V = S основания · h. Если объём 120 см³, основание 24 см², высота равна 120 : 24 = 5 см. Деление кубических сантиметров на квадратные даёт сантиметры — это согласуется с искомой длиной.

Кубики другого размера

Коробку 8 × 6 × 4 см заполняют кубиками ребра 2 см. По трём направлениям помещается 4, 3 и 2 кубика; всего 24. Все размеры здесь делятся на ребро кубика, поэтому пустот нет. Нельзя делить объём коробки просто на длину ребра кубика: нужен объём одного кубика.

Масштабирование

Если каждое ребро куба увеличить в два раза, площадь грани вырастет в четыре, объём — в восемь. В общем случае при увеличении всех длин в k раз площадь меняется в k², объём в k³ раз. Если увеличили только одно измерение коробки вдвое, объём увеличится лишь вдвое.

Литры и кубические единицы

Один литр равен одному кубическому дециметру. Один дм³ равен 1000 см³: вдоль каждого ребра дециметрового куба помещается 10 сантиметровых кубиков, всего 10³. Вместимость в литрах и геометрический объём связаны, но площадь поверхности в литры перевести нельзя. В «Десанте» этого урока считаем только небольшие произведения числа слоёв и кубиков.

Проверьте себя