На столе лежат семь карандашей. Чтобы узнать их количество, мы считаем: один, два, три… Числа, которые используются при счёте предметов, называют натуральными. В этом курсе натуральный ряд начинается с 1, а нуль рассматривается отдельно. К концу урока вы сможете отличать число от цифры, находить соседей числа и объяснять, что означает нуль.
1. Число и цифра
Число сообщает о количестве или порядке. Цифра — знак, которым число записывают. В десятичной записи используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Чисел бесконечно много: из этих знаков можно составлять всё новые записи.
Разберём запись 404. Это одно число, записанное тремя цифрами. В записи использованы две разные цифры: 4 и 0. Поэтому вопросы «Сколько цифр в записи?» и «Сколько разных цифр использовано?» имеют разные ответы: три и две.
Запись из одной цифры называют однозначной, из двух — двузначной, из трёх — трёхзначной. Пробелы в больших числах только помогают читать: в числе 12 305 пять цифр. Сам пробел цифрой не является.
2. Как устроен натуральный ряд
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Первое натуральное число — 1. Каждое следующее на единицу больше предыдущего. Последнего натурального числа нет.
Если названо большое число, к нему всё равно можно прибавить 1. Так получаем ещё большее натуральное число. Многоточие показывает, что ряд продолжается без конца; оно не обозначает какое-то одно пропущенное число.
Чтобы найти следующее число после 299, прибавляем 1 и получаем 300. Чтобы найти предыдущее перед 300, вычитаем 1 и получаем 299. У числа 1 нет предыдущего натурального числа: 0 в принятом здесь натуральном ряду отсутствует.
3. Зачем нужен нуль
В коробке нет карандашей — их количество равно нулю. Нуль обозначает отсутствие предметов, а в записи многозначного числа может обозначать отсутствие единиц определённого разряда. Например, 105 и 15 — разные числа: убрать внутренний нуль без изменения значения нельзя.
Число 0 меньше любого натурального числа. При этом цифра 0 участвует в записи натуральных чисел: 10, 20, 101. Утверждения «Нуль не входит в натуральный ряд этого курса» и «Нуль нельзя использовать в записи натурального числа» совсем не равнозначны: второе неверно.
4. Как считать числа в промежутке
Сколько натуральных чисел от 7 до 11 включительно? Перечислим: 7, 8, 9, 10, 11. Их пять. Разность 11 − 7 показывает четыре перехода от одного числа к следующему. Чтобы посчитать сами числа с обоими концами, прибавляем 1: 11 − 7 + 1 = 5.
Если сказано «строго между 7 и 11», числа 7 и 11 не учитываем. Останутся 8, 9 и 10. Всегда проверяйте слова «включительно», «между», «больше» и «не меньше»: от них зависит набор подходящих чисел.
5. Частые ошибки
- Считать цифру и число одним понятием. Запись 37 состоит из двух цифр, но обозначает одно число.
- Называть 9 наибольшим натуральным числом. Это наибольшая цифра десятичной записи, а число 10 больше 9.
- Забывать включить границы при подсчёте чисел «от… до… включительно».
Проверьте себя
Сколько цифр и сколько разных цифр в записи 1001?
Четыре цифры; две разные цифры — 1 и 0.
Назовите соседей числа 999.
Предыдущее — 998, следующее — 1000.
Сколько натуральных чисел от 12 до 16 включительно?
Пять: 12, 13, 14, 15, 16.
Верно ли, что число 10 записано одной цифрой?
Нет. Число одно, а цифр в его записи две: 1 и 0.
Готовы к практике? Сначала выбирайте задания на соседние числа и длину записи. Если ошиблись, проговорите, что именно требовалось найти: число, цифру или количество цифр.