При центральной симметрии выбирают точку O — центр. Для каждой точки A образ A′ строят так, чтобы O был серединой отрезка AA′. Значит A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Точка O переходит сама в себя.
Построение и поворот
Проведите прямую AO и отложите от O в противоположную сторону отрезок, равный OA. Центральная симметрия совпадает с поворотом на 180°, то есть на половину полного оборота. Фигура сохраняет длины и углы. Один лишь факт равенства расстояний до O недостаточен: точки ещё должны лежать на одной прямой с центром.
Начало координат как центр
Если центр — начало координат, меняются знаки обеих координат: (x; y) → (−x; −y). Для A(−3; 2) получаем A′(3; −2). Это отличается от отражения относительно одной оси, где меняется только одна координата. Проверка: середина пары (−3; 2) и (3; −2) имеет координаты (0; 0).
Другой центр
Для центра M(a; b) координаты образа равны (2a − x; 2b − y). Например, при M(1; 2) и A(−1; 3) получаем A′(3; 1). Средние координаты пары равны ((−1 + 3) : 2; (3 + 1) : 2) = (1; 2), как и требовалось. Эти более длинные подстановки оставлены обычным играм.
Центр симметрии фигуры
Фигура имеет центр симметрии, если это преобразование переводит её целиком в себя. У окружности и круга таким центром является их геометрический центр. У параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата — точка пересечения диагоналей. У треугольника центра симметрии нет, даже если он равносторонний. Наличие оси симметрии не гарантирует наличия центра.
У правильного многоугольника с чётным числом сторон есть центр симметрии; поворот на 180° совмещает противоположные вершины. При нечётном числе сторон такого центра нет. Поэтому правильный пятиугольник имеет оси, но не центр симметрии, а правильный шестиугольник имеет и то и другое. Для проверки преобразуйте все вершины и убедитесь, что они совпали с вершинами исходной фигуры.
Проверьте себя
1. Отразите (2; −5) относительно O(0; 0).
(−2; 5).
2. A(−4; 2), A′(4; −2). Координаты центра?
(0; 0): середина отрезка между точками.
3. M(1; 2), A(−1; 3). Образ относительно M?
(3; 1). Проверка середины даёт (1; 2).
4. Есть ли центр у правильного пятиугольника? А шестиугольника?
У пятиугольника нет, у шестиугольника есть.
Игровая практика
Выберите игру и уровень. Ответ может быть числом, выражением с π, парой координат или названием положения точки. Проверяйте единицы и указание о приближении. При ошибке прочитайте объяснение и восстановите простой чертёж. Для коротких вопросов «Десанта» можно уменьшить скорость полёта.