Многоугольник ограничен замкнутой ломаной без самопересечений. Звенья — его стороны, концы звеньев — вершины. У n-угольника n сторон и n вершин. В названии фигуры вершины перечисляют последовательно вдоль границы, а не в произвольном порядке.
Диагонали
Диагональ соединяет две несоседние вершины. Отрезок между соседними вершинами — сторона, а не диагональ. Из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали: исключаем саму вершину и две соседние. У треугольника диагоналей нет, у пятиугольника из каждой вершины выходят две. Это число относится к одной вершине, а не ко всей фигуре.
Треугольники по сторонам
У равностороннего треугольника все стороны равны. У равнобедренного есть две равные стороны. В таком определении равносторонний является частным случаем равнобедренного. Чтобы варианты не пересекались, в игре рядом с «Равносторонний» используется вариант «Равнобедренный с неравным основанием». У разностороннего все три длины различны.
Можно ли построить треугольник
Длина любой стороны должна быть строго меньше суммы двух других. Достаточно проверить самую длинную сторону. Длины 3, 4 и 5 см подходят: 5 меньше 3 + 4. Длины 2, 3 и 5 см не подходят: равенство даёт точки на одной прямой, а не треугольник. Все длины должны быть положительными.
Периметр
Периметр — сумма длин всех сторон. Для треугольника со сторонами 5, 5 и 6 см он равен 16 см. У n-угольника с равными сторонами длины a периметр P = na, а сторона a = P : n. Для шести сторон по 3 см получим 18 см. Равенство сторон не всегда делает многоугольник правильным: для правильного многоугольника равными должны быть также все углы.
Перед вычислением приведите длины к одной единице. Не добавляйте диагонали к периметру: они находятся внутри или вне границы и не являются её сторонами. При обратной задаче проверьте ответ сложением всех восстановленных длин. Если по периметру находите недостающую сторону треугольника, дополнительно проверьте возможность построения фигуры.
Проверьте себя
1. Сколько вершин и сторон у семиугольника?
Семь вершин и семь сторон.
2. Сколько диагоналей из одной вершины шестиугольника?
6 − 3 = 3.
3. Можно ли построить треугольник со сторонами 3, 4 и 7 см?
Нет: 3 + 4 = 7, а требуется строгое неравенство.
4. Пять равных сторон по 2,4 см. Периметр?
5 · 2,4 = 12 см.
Игровая практика
Выберите одну из восьми игр и подходящий уровень. В вопросах указаны необходимые длины и углы. Читайте ограничения: «различные прямые», «середина», «из одной вершины», «смежные». Они определяют способ решения. После ошибки прочитайте объяснение и восстановите простой чертёж. Для коротких вопросов «Десанта» можно уменьшить скорость полёта.