Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число. Корнем называют значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Решить уравнение — найти все его корни или установить, что их нет. Проверка выполняется подстановкой в исходное равенство, а не только в последнюю строку решения.
Простейшие уравнения
Для x + 7 = 3 вычтем семь из обеих частей: x = −4. Для 3x = −12 разделим обе части на три: x = −4. Для x : 5 = −2 умножим обе части на пять: x = −10. Эти действия сохраняют равенство. Делить обе части разрешается только на ненулевое число.
Равносильные преобразования
Если к обеим частям прибавить одно и то же число, корни сохранятся. Это позволяет переносить слагаемое в другую часть с противоположным знаком. Но перенос — сокращённая запись действия с обеими частями, а не произвольная смена знаков. Умножение и деление обеих частей на одно и то же ненулевое число тоже сохраняют корни.
Скобки и неизвестное с двух сторон
Для 2(x − 3) = 8 можно сначала разделить обе части на два: x − 3 = 4, затем x = 7. Для 3x + 2 = x − 6 вычтем x из обеих частей и вычтем два: 2x = −8, значит x = −4. Проверка: обе исходные части при x = −4 равны −10. Выбирайте понятную последовательность и записывайте промежуточные равенства.
Нет корней или подходит любое число
Уравнение x + 2 = x + 5 после вычитания x даёт 2 = 5. Равенство неверно независимо от x, поэтому корней нет. Уравнение 2x + 3 = 2x + 3 верно при любом рациональном x. В нём нельзя делить на коэффициент ноль, получившийся после сокращения буквенных частей. Эти случаи отличаются от уравнения x = 0, у которого ровно один корень.
Дробные коэффициенты
Уравнения решаются теми же способами для десятичных и обыкновенных дробей. Например, 0,5x = −1 даёт x = −2. В уравнении x/3 = 1/2 умножение на три даёт x = 3/2. Сохраняйте точное значение и проверяйте, что исходные действия определены. В играх этого раздела знаменатели в уравнениях — ненулевые числа, а не выражения с неизвестным.
Проверьте себя
1. Решите x − 4 = −9.
Прибавим 4 к обеим частям: x = −5. Проверка: −5 − 4 = −9.
2. Решите 3x + 2 = 11.
3x = 9; x = 3. Проверка: 9 + 2 = 11.
3. Решите 2(x − 1) = 6.
x − 1 = 3; x = 4.
4. Сколько корней у x + 1 = x + 2? А у 2x = 2x?
Первое не имеет корней, второе верно при любом рациональном x.
Игровая практика
Выберите одну из восьми игр и подходящий уровень. Ответ может быть числом, упрощённым выражением или описанием всех корней — ориентируйтесь на вопрос. При ошибке прочитайте объяснение, запишите промежуточные шаги и проверьте результат подстановкой. Для коротких вопросов «Десанта» можно уменьшить скорость полёта.