Разные буквенные записи могут задавать одно и то же значение при любой допустимой подстановке. Такие выражения называют тождественно равными. Упрощение помогает получить более короткую равную запись. В этом уроке используем свойства сложения и умножения рациональных чисел, уже изученные в предыдущем разделе.
Коэффициент
В произведении 5x число 5 называют числовым коэффициентом. В записи −x коэффициент равен −1, в записи x — единице. Если 3x + (−3x) превращается в ноль, коэффициент при x равен нулю. Отрицательный знак является частью коэффициента, поэтому его нельзя терять при преобразовании.
Подобные слагаемые
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Чтобы их сложить, складывают коэффициенты, а буквенную часть сохраняют: 4x − 7x = −3x. В выражении 2x + 5 + 3x + 1 можно объединить 2x и 3x, а отдельно 5 и 1; получится 5x + 6. Числа и слагаемые с буквой нельзя просто слить в одно слагаемое: 2x + 3 не равно 5x.
Раскрытие скобок
Распределительное свойство даёт a(b + c) = ab + ac. Поэтому 3(x + 4) = 3x + 12. Множитель относится к каждому слагаемому в скобках. Для отрицательного множителя правило такое же: (−2)(x − 5) = −2x + 10. Во втором произведении два отрицательных множителя дают плюс.
Минус перед скобками означает умножение на −1 и меняет знаки всех слагаемых: −(2x − 3) = −2x + 3. Плюс перед скобками позволяет убрать их, сохранив знаки. Упрощайте по шагам: сначала раскройте скобки, затем соберите подобные слагаемые, потом выполните действия с коэффициентами.
Как проверить преобразование
Подставьте одно и то же значение буквы в исходную и полученную записи. Если результаты различаются, упрощение неверно. Совпадение при одном числе помогает проверить себя, но само по себе не доказывает тождество. Например, x² и x совпадают при x = 1, а при x = 2 уже различаются. Обосновывайте преобразование свойствами действий, а подстановку используйте как проверку.
Проверьте себя
1. Упростите 6x − 9x.
(6 − 9)x = −3x.
2. Упростите 2(x + 5).
2x + 10.
3. Раскройте скобки: −(3x − 4).
−3x + 4. Меняются оба знака.
4. Упростите 2x + 3 + 5x − 1.
(2 + 5)x + (3 − 1) = 7x + 2.
Игровая практика
Выберите одну из восьми игр и подходящий уровень. Ответ может быть числом, упрощённым выражением или описанием всех корней — ориентируйтесь на вопрос. При ошибке прочитайте объяснение, запишите промежуточные шаги и проверьте результат подстановкой. Для коротких вопросов «Десанта» можно уменьшить скорость полёта.