Пропорциональность описывает связь двух меняющихся величин. Сначала выясните, что остаётся постоянным. Только после этого выбирайте действие или составляйте пропорцию. Две величины могут одновременно увеличиваться, но одной этой особенности недостаточно для прямой пропорциональности.
Прямая пропорциональность
При постоянной цене стоимость прямо пропорциональна массе покупки. Если масса увеличилась в три раза, стоимость тоже увеличилась в три раза. Частное стоимости и массы постоянно: это цена килограмма. Для 2 кг по 60 руб./кг стоимость 120 руб., для 5 кг — 300 руб. Отношение масс 2 : 5 равно отношению стоимостей 120 : 300.
Обратная пропорциональность
При одном и том же пути время движения обратно пропорционально скорости. Скорость увеличили в два раза — время уменьшилось в два раза. Произведение скорости и времени постоянно: это пройденное расстояние. Для пути 120 км при скорости 30 км/ч требуется 4 ч, а при 60 км/ч — 2 ч. Остановок и изменения скорости внутри участка в этой модели нет.
Как составить решение
Запишите величины с единицами и укажите постоянную. При прямой зависимости можно найти значение на единицу: если 3 кг стоят 210 руб., то цена 70 руб./кг, а 5 кг стоят 350 руб. При обратной зависимости сначала найдите постоянное произведение: скорость 40 км/ч и время 3 ч дают путь 120 км; при 60 км/ч этот путь займёт 2 ч.
Границы модели
Возраст человека и его рост не прямо пропорциональны: удвоение возраста не означает удвоения роста. Цена поездки с фиксированной платой за посадку не прямо пропорциональна пути. Число работников и время выполнения работы обратно пропорциональны лишь в учебной модели: работа одна и та же, производительность каждого одинакова и они не мешают друг другу.
Перед ответом выполните смысловую проверку. При той же цене больше товара должно стоить дороже. Для того же расстояния большая скорость требует меньше времени. Если вычисление даёт противоположный результат, проверьте порядок отношений. В играх условия постоянной цены и неизменного пути указаны прямо.
Проверьте себя
1. 4 кг стоят 280 руб. Сколько стоят 6 кг по той же цене?
Цена 280 : 4 = 70; стоимость 420 руб.
2. Путь 180 км, скорость 60 км/ч. Время?
180 : 60 = 3 ч.
3. На одном пути скорость выросла в 3 раза. Как изменилось время?
Уменьшилось в 3 раза, если движение равномерное без остановок.
4. Являются ли возраст и рост прямо пропорциональными?
Нет: их частное не постоянно.
Игровая практика
Выберите базовый уровень для освоения правила, средний — для более крупных чисел, повышенный — для уверенного счёта. Дробный ответ записывайте как обыкновенную дробь. После ошибки прочитайте объяснение и восстановите ход решения. В играх «Зажги огонёк» нужно проверить предложенный ответ, а не просто выполнить вычисление. Для «Десанта» скорость можно уменьшить.