Любую обыкновенную дробь можно понимать как результат деления числителя на знаменатель. Но не у каждой дроби есть точная конечная десятичная запись. Перед переводом полезно сократить дробь и исследовать её знаменатель.
Конечная запись
Несократимая дробь имеет конечную десятичную запись, если её знаменатель содержит только простые множители 2 и 5. Знаменатель 1 тоже подходит: число целое.
У 3/8 знаменатель 8 = 2³. Его можно умножить на 125 и получить 1000. Числитель тоже умножаем на 125: 3/8 = 375/1000 = 0,375.
У 7/20 знаменатель 20 = 2² · 5, поэтому достаточно дополнительного множителя 5: 7/20 = 35/100 = 0,35.
Сначала сократить
Дробь 6/15 имеет в исходном знаменателе множитель 3. Но 6/15 = 2/5, а значит конечная запись существует: 0,4. Нельзя применять критерий к несокращённому знаменателю.
Для 2/6 после сокращения получаем 1/3. Здесь множитель 3 в знаменателе остаётся, поэтому точной конечной записи нет.
Деление числителя на знаменатель
Другой способ перевода — выполнить деление. Для 3/4 получаем 0,75. Если на некотором шаге остаток стал нулём, десятичная запись закончилась.
В делении 1 на 3 остатки повторяются, и цифра 3 продолжается без конца: 0,333… Такую запись называют бесконечной периодической. Период можно обозначить скобками: 0,(3).
Не нужно придумывать последнюю цифру бесконечной записи. Можно оставить обыкновенную дробь, указать период или получить приближение до нужного разряда.
Равенство и приближение
1/3 = 0,333… точно, а 1/3 ≈ 0,33 приближённо. Знаки = и ≈ имеют разный смысл.
Конечная запись 0,33 равна 33/100. Это немного меньше одной трети. При точном вычислении лучше сохранить 1/3, а округлить только окончательный результат, если это требуется.
| Дробь после сокращения | Знаменатель | Конечная запись |
|---|---|---|
| 3/8 | 2³ | Да: 0,375 |
| 7/20 | 2² · 5 | Да: 0,35 |
| 1/3 | 3 | Нет |
| 5/6 | 2 · 3 | Нет |
Проверьте себя
1. Переведите 3/5 в конечную десятичную дробь.
0,6.
2. Есть ли конечная запись у 9/12?
Да: 9/12 = 3/4 = 0,75.
3. Есть ли конечная запись у 1/7?
Нет: в несократимом знаменателе есть простой множитель 7.
4. Верно ли точное равенство 2/3 = 0,67?
Нет. 0,67 — приближение до сотых.