Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей требуют одинаковых долей. Нельзя складывать числители и знаменатели отдельно: половины и трети сначала нужно выразить одинаковыми долями одного целого.

Одинаковые знаменатели

2/7 + 3/7 = 5/7. Для 5/8 − 1/8 получаем 4/8 = 1/2. Знаменатель 8 остаётся на первом шаге, а затем сокращается вместе с числителем.

Разные знаменатели

Для 1/2 + 1/3 общий знаменатель 6. Получаем 3/6 + 2/6 = 5/6. Ошибочная запись (1 + 1)/(2 + 3) = 2/5 не соответствует сумме.

Для вычитания 5/6 − 1/4 используем знаменатель 12: 10/12 − 3/12 = 7/12. В заданиях этого раздела разность неотрицательна; отрицательные числа изучим отдельно.

Смешанные числа при сложении

Можно отдельно сложить целые и дробные части. 1 3/4 + 2 2/3 = 3 + 9/12 + 8/12 = 3 + 17/12 = 4 5/12. Из дробной суммы выделилась ещё одна единица.

Другой способ — сначала перевести оба смешанных числа в неправильные дроби. 7/4 + 8/3 = 21/12 + 32/12 = 53/12 = 4 5/12. Оба способа дают один результат.

Заимствование единицы

При вычислении 3 1/4 − 1 2/3 дробная часть первого числа меньше. Запишем 3 1/4 = 2 15/12, а 1 2/3 = 1 8/12. Получим 1 7/12.

Равенство 3 1/4 = 2 15/12 означает, что одну целую единицу заменили двенадцатью двенадцатыми и добавили имеющиеся три двенадцатых. Значение числа не изменилось.

Если перевести всё в неправильные дроби, заимствование выполняется автоматически: 13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12.

Проверка

Для разности прибавьте вычитаемое к ответу: должно получиться уменьшаемое. Для суммы можно вычесть одно слагаемое. Оцените величину: сумма положительных дробей больше каждого слагаемого, разность не больше уменьшаемого.

Ответ запишите в сокращённом виде. Если требуется выделить целую часть, неправильную дробь преобразуйте в смешанное число. Целое значение записывают целым числом; правильная дробь остаётся без нулевой целой части.

Проверьте себя