Общее кратное двух натуральных чисел делится на каждое из них. Положительных общих кратных бесконечно много. Нас интересует самое маленькое: оно позволяет найти первое повторное совпадение двух периодических действий.
Определение НОК
НОК(a; b) — наименьшее положительное число, кратное и a, и b.
Положительные кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30… Кратные 8: 8, 16, 24, 32… Первое общее число 24. Поэтому НОК(6; 8) = 24.
Ноль делится на любое положительное число, но в определении НОК ищут именно положительное кратное. Ответ 0 не подходит.
Через простые множители
Для НОК берут все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении. Для каждого выбирают наибольший показатель.
Числу 24 нужны три двойки и одна тройка. Числу 36 нужны две двойки и две тройки. Чтобы новое число делилось на оба, достаточно трёх двоек и двух троек: 2³ · 3² = 72.
Если перемножить все множители обоих чисел подряд, получится общее кратное, но обычно не наименьшее. Общую часть не нужно учитывать дважды.
Связь НОД и НОК
Для натуральных a и b выполняется НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b. Поэтому НОК = a : НОД · b.
Для 24 и 36 НОД равен 12. Тогда НОК = 24 : 12 · 36 = 72. Деление перед умножением уменьшает промежуточные числа.
Эта связь в указанном виде относится к двум числам. Нельзя без проверки переносить ту же формулу на три числа.
Особые случаи
Если одно число делится на другое, НОК равен большему. Например, НОК(5; 20) = 20. Для равных чисел НОК(a; a) = a. Для 1 и b получаем НОК(1; b) = b.
У взаимно простых чисел НОД равен 1, поэтому НОК равен произведению. Например, НОК(8; 9) = 72. Для чисел с общим делителем произведение обычно больше нужного НОК.
Проверяем
НОК должен делиться на оба числа и быть не меньше каждого из них. Для наименьшести используйте список кратных, разложение или связь с уже найденным НОД. Просто получить любое общее кратное недостаточно.
Не путайте сокращения: НОД делит оба исходных числа, а НОК делится на них. Эти направления делимости противоположны.
Проверьте себя
1. Найдите НОК(4; 6).
12.
2. Найдите НОК(7; 21).
21.
3. Найдите НОК(5; 8).
40, потому что числа взаимно простые.
4. Для 12 и 18 НОД равен 6. Найдите НОК.
12 : 6 · 18 = 36.