НОД двух чисел: общие делители и разложение

Общий делитель двух натуральных чисел делит каждое из них без остатка. Общих делителей может быть несколько. Наибольший помогает разделить два количества на максимально возможное число одинаковых групп.

Определение НОД

Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Наибольший из них 12. Значит НОД(24; 36) = 12. Число 24 не является общим делителем: 36 на 24 без остатка не делится.

Через простые множители

У числа 24 три множителя 2, у 36 только два. Общая часть содержит два множителя 2. Троек у 24 одна, у 36 две, значит в НОД входит одна тройка. Получаем 2² · 3 = 12.

Простой множитель, который есть только в одном числе, в НОД не входит. Например, 20 = 2² · 5 и 28 = 2² · 7, поэтому НОД равен 2² = 4.

Взаимно простые числа

Если НОД двух чисел равен 1, числа называют взаимно простыми. Это не означает, что оба они простые. Например, 8 и 9 составные, но общий положительный делитель у них только 1.

Числа 6 и 9 не взаимно простые: их НОД равен 3. Не подменяйте проверку общих делителей проверкой чётности.

Особые случаи

Если меньшее число делит большее, НОД равен меньшему. Для 7 и 35 это 7. Для равных чисел НОД(a; a) = a. Для 1 и любого натурального b получаем НОД(1; b) = 1.

Порядок аргументов не влияет на результат: НОД(24; 36) = НОД(36; 24). Наибольший общий делитель не может быть больше меньшего исходного числа.

Проверка результата

Найденное число должно делить оба исходных. Но этой проверки недостаточно, чтобы доказать, что оно наибольшее. Число 6 делит и 24, и 36, однако НОД равен 12. Наибольшесть подтверждают полным списком общих делителей или правилом простых разложений.

В коротких вопросах используйте небольшие известные пары. Для больших чисел удобнее сначала разложить каждое, затем сравнить показатели одинаковых простых множителей.

Проверьте себя