Разложение на простые множители помогает увидеть состав числа. Оно нужно для сокращения дробей, нахождения НОД и НОК и проверки делимости. В отличие от обычного разбиения на множители, здесь каждый окончательный множитель должен быть простым.
Простое и составное
Простое натуральное число имеет ровно два положительных делителя: 1 и себя. Составное имеет больше двух. Число 1 не является ни простым, ни составным.
Числа 2, 3, 5, 7 простые. Число 12 составное: 12 = 2 · 6. Но запись 2 · 6 ещё не является разложением на простые множители, потому что 6 составное.
Разлагаем последовательно
Начинаем с простого делителя. Число 72 чётное, делим на 2 и получаем 36. Снова делим на 2, затем ещё раз на 2. Остаётся 9, его делим на 3 и снова на 3. Последнее частное равно 1, разложение закончено.
Можно начать иначе: 72 = 8 · 9, затем разложить 8 и 9. Получится тот же набор простых множителей. Порядок записи множителей не меняет произведение.
Степени в разложении
Повторяющиеся одинаковые множители записывают степенью: 2 · 2 · 2 = 2³. Показатель 3 означает три множителя 2.
Для 72 получаем 2³ · 3². Простой делитель 2 встречается три раза, простой делитель 3 — два раза. Различных простых делителей всего два, а множителей с учётом повторений — пять. Эти вопросы нельзя смешивать.
Запись 2³ равна 8, а не 2 · 3 = 6. При проверке разложения сначала вычисляйте степени, затем умножайте результаты.
Проверяем разложение
Две проверки обязательны: все множители простые, а произведение равно исходному числу. Для 72 запись 2 · 36 даёт верное произведение, но содержит составной множитель. Запись 2³ · 3 даёт 24, поэтому не подходит даже при простых основаниях.
Для 45 получаем 3 · 3 · 5 = 3² · 5. Наименьший простой делитель 3. Для 49 — 7 · 7 = 7², различный простой делитель только один.
Удобные признаки
Сначала проверяйте делимость на 2, 3 и 5. Для 3 используйте сумму цифр, для 5 — последнюю цифру. Если число не делится на эти простые, переходите к 7 и другим простым делителям при необходимости.
Не включайте 1 в разложение: она не простая и не меняет произведение. В задачах этого курса на разложение даны составные числа больше 1; частные случаи с единицей отдельно рассматриваются в НОД и НОК.
Проверьте себя
1. Разложите 60 на простые множители.
60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
2. Сколько раз встречается 3 в разложении 54?
54 = 2 · 3³. Три раза.
3. Сколько различных простых делителей у 36?
Два: 2 и 3.
4. Является ли 1 простым числом?
Нет. У него только один положительный делитель.