Свойства делимости: сумма, разность и произведение

В 5 классе мы знакомились с делителями, кратными и признаками делимости. Теперь используем свойства действий, чтобы объяснять делимость и выбирать удобный способ вычисления. В этом разделе делитель всегда положительный, на ноль не делят.

Что значит «делится»

Например, 30 = 6 · 5, поэтому 30 кратно 6. Число 32 = 6 · 5 + 2 не делится на 6 без остатка. Слова «кратно» и «делится без остатка» описывают одну связь.

Сумма и разность

Для суммы можно вынести общий множитель: d · a + d · b = d · (a + b). Это объясняет свойство, а не просто проверяет один пример. Для разности рассуждение такое же.

При вычислении (18 + 30) : 6 можно разделить каждое слагаемое: 3 + 5 = 8. Для (30 − 18) : 6 получаем 5 − 3 = 2. Условие делимости обоих чисел позволяет работать с целыми частными.

Когда условие не выполнено

Если только одно слагаемое кратно d, а второе не кратно, сумма не делится на d без остатка. Например, 18 кратно 6, а 5 не кратно; сумма 23 тоже не кратна 6.

Если оба слагаемых не делятся на d, нельзя заранее сделать такой же вывод. Числа 2 и 4 не кратны 6, но их сумма 6 кратна 6. Числа 2 и 3 тоже не кратны 6, а сумма 5 не кратна. Нужна дополнительная проверка.

Произведение

Если хотя бы один множитель делится на d, произведение целых чисел делится на d. Например, 12 · 7 кратно 6, поскольку 12 кратно 6.

Обратное утверждение неверно: из делимости произведения не следует, что один из множителей обязан делиться на d. Произведение 2 · 3 кратно 6, хотя ни 2, ни 3 не кратны 6.

Остаток при прибавлении делителя

Прибавление d к числу не меняет остаток при делении на d. Если 17 даёт остаток 2 при делении на 5, то 22 тоже даёт остаток 2. Добавилась одна полная группа из пяти.

При проверке ответа убедитесь, что остаток меньше делителя. Ноль — допустимый остаток, который означает деление без остатка.

Проверьте себя