Сократить дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на один и тот же натуральный общий делитель, больший 1. Значение дроби при этом сохраняется, а числа в записи становятся меньше. Это применение основного свойства дроби.
Общий делитель
Для дроби 1824 число 6 является общим делителем: 18 : 6 = 3 и 24 : 6 = 4. После сокращения получаем 34. Если выбранное число делит только числитель или только знаменатель, оно для такого сокращения не подходит.
Делить нужно оба компонента на одно и то же число и без остатка.
Например, 1520 можно сократить на 5 и получить 34. Деление числителя на 3, а знаменателя на 5 дало бы 54, но это уже другая величина, а не сокращённая запись исходной дроби.
Сокращение по шагам
1218 сначала сократим на 2: получим 69. Затем на 3: получим 23. Оба шага сохраняют значение дроби.
Можно было сразу разделить 12 и 18 на 6. Результат тот же. Для сокращения полностью удобно выбрать наибольший общий делитель, но допустимо последовательно делить на меньшие общие делители.
Несократимая дробь
Дробь несократимая, если у числителя и знаменателя нет общего натурального делителя, большего 1.
У чисел 2 и 3 общий делитель только 1, поэтому 23 сократить нельзя. Дробь 69 ещё сократима, хотя она уже получена после одного сокращения 1218. Слово «полностью» требует продолжить работу до несократимой записи.
Не обязательно, чтобы оба компонента были простыми. Дробь 815 несократима, хотя и 8, и 15 составные: их разложения 8 = 2³ и 15 = 3 · 5 не содержат общего простого множителя.
Используем признаки делимости
Если числитель и знаменатель чётные, можно сократить на 2. Если оба делятся на 3 по сумме цифр, можно сократить на 3. Если оба оканчиваются на 0 или 5, проверьте деление на 5.
4560 сокращаем на 5 и получаем 912. Оба компонента делятся на 3, поэтому дальше получаем 34. Проверка обратным умножением: 3 · 15 = 45 и 4 · 15 = 60.
Если не видите общий делитель, разложите оба числа на простые множители и найдите общие множители. Каждый использованный общий множитель убирается и сверху, и снизу.
Случаи, дающие целое число
Дробь 217 равна 3: после деления обоих компонентов на 7 получается 31, а такая запись обозначает целое число 3. Для 99 результат равен 1.
Сокращение и выделение целой части — разные преобразования. Дробь 73 несократима, но из неё можно выделить целую часть: 73 = 2 13. Одно действие не заменяет другое.
Проверьте себя
1. Сократите 1015 полностью.
23: делим оба компонента на 5.
2. Сократите 2436 полностью.
23. Можно разделить сразу на 12 или сокращать по шагам.
3. Является ли 914 несократимой дробью?
Да. У чисел 9 и 14 нет общего делителя больше 1.
4. Сократите 357 и запишите целым числом.
5.