Разложить число на простые множители — значит представить его произведением, каждый множитель которого является простым числом. Обычного разложения на любые множители недостаточно: составные части нужно разложить дальше.
От произведения к простым множителям
Число 60 можно записать как 6 · 10. Оба множителя составные, поэтому продолжаем: 6 = 2 · 3 и 10 = 2 · 5. Получаем 60 = 2 · 3 · 2 · 5.
В завершённом разложении все множители простые, а их произведение равно исходному числу. Единицу в такое разложение не включают.
Запись 60 = 4 · 3 · 5 ещё не завершена, потому что 4 = 2 · 2. Запись 60 = 2 · 2 · 3 · 5 уже подходит. Произведение 60 · 1 равно 60, но не является разложением на простые множители.
Последовательное деление
Можно начинать с наименьшего простого делителя и делить, пока получается нацело. Например, для 84 последовательность такова:
84 : 2 = 42
42 : 2 = 21
21 : 3 = 7
7 : 7 = 1
Использованные делители: 2, 2, 3, 7. Поэтому 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
Если частное ещё делится на тот же простой делитель, используйте его повторно. Нельзя переходить дальше только потому, что число 2 уже встречалось: повторяющиеся множители важны.
Проверка
Перемножьте найденные числа: 2 · 2 · 3 · 7 = 4 · 21 = 84. Затем убедитесь, что каждое из чисел простое. Только оба условия вместе подтверждают правильность результата.
Порядок множителей не влияет на произведение. Записи 2 · 3 · 2 · 7 и 2 · 2 · 3 · 7 обозначают одно и то же разложение. Обычно множители располагают по возрастанию, чтобы легче видеть повторения.
Запись с помощью степеней
Повторяющиеся одинаковые множители можно объединить в степень: 84 = 2² · 3 · 7.
Для 72 получаем 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3². Показатель сообщает количество повторений соответствующего простого множителя.
В этом разложении пять множителей с учётом повторений, но только два различных: 2 и 3. Вопросы «сколько множителей» и «сколько различных множителей» требуют разных ответов.
Что раскладывать не нужно
Простое число уже является простым множителем. Например, разложение числа 13 состоит из самого числа 13. У единицы нет разложения на простые множители в принятом здесь виде; её не считают простым числом.
В этом курсе отрабатываем само разложение и его проверку. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное будут отдельными понятиями и здесь не требуются.
Проверьте себя
1. Разложите 90 на простые множители.
90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5.
2. Завершено ли разложение 48 = 6 · 8?
Нет. Нужно разложить 6 и 8: 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2⁴ · 3.
3. Сколько множителей с повторениями в разложении 100?
Четыре: 100 = 2 · 2 · 5 · 5. Различных множителей два.
4. Какой наибольший простой множитель числа 154?
11: 154 = 2 · 7 · 11.