Итоговая практика объединяет делители и кратные, признаки делимости, простые и составные числа и разложение на простые множители. Новых правил здесь нет. Сначала запишите решения самостоятельно, затем откройте ответы и сравните рассуждения.
Перед началом
- Объясните, чем делитель отличается от кратного.
- Назовите признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Вспомните, почему 1 не является ни простым, ни составным числом.
- Объясните, когда разложение на простые множители считается завершённым.
- Отличите количество множителей с повторениями от количества различных множителей.
В заданиях на все делители используйте пары. В проверке на 3 и 9 выпишите сумму цифр. Для пропущенной цифры прочитайте уточнение: нужна наименьшая, наибольшая или любая подходящая. При разложении проверьте и произведение, и простоту каждого множителя.
Двенадцать заданий
1. Назовите все положительные делители 20.
1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. Назовите первые четыре положительных кратных 8.
8, 16, 24, 32.
3. Какие из чисел 124, 135, 270 делятся на 2?
124 и 270: последние цифры чётные.
4. Какие из этих чисел делятся на 5 и какие на 10?
На 5: 135 и 270. На 10: только 270.
5. Проверьте делимость 738 на 3 и на 9.
7 + 3 + 8 = 18. Число делится и на 3, и на 9.
6. Назовите наибольшую цифру для 5□2, чтобы число делилось на 3.
8: 5 + 8 + 2 = 15. Получаем 582.
7. Назовите наименьшую цифру для 8□1, чтобы число делилось на 9.
0: 8 + 0 + 1 = 9. Подходит также 9, но требуется наименьшая цифра.
8. Распределите 1, 2, 9, 19 на простые и составные.
Простые: 2 и 19. Составное: 9. Число 1 не относится ни к одной из групп.
9. Почему 77 — составное число?
77 = 7 · 11. У него есть делители, отличные от 1 и 77.
10. Разложите 120 на простые множители.
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2³ · 3 · 5.
11. Сколько множителей с повторениями и сколько различных в разложении 120?
С повторениями — пять; различных — три: 2, 3, 5.
12. Выберите правильное простое разложение 36: 4 · 9 или 2 · 2 · 3 · 3.
2 · 2 · 3 · 3. В первом произведении оба множителя составные.
Как разобрать ошибки
Если не совпали ответы 1–2, вернитесь к смыслу деления нацело. Делители данного числа не больше самого числа, а положительные кратные начинаются с него и продолжаются бесконечно. Нуль не входит в список положительных кратных.
В заданиях 3–4 важна последняя цифра. Наличие цифры 2 или 5 где-то в середине числа не даёт нужного признака. В заданиях 5–7, наоборот, следует сложить все цифры. Для 3 и 9 последний знак сам по себе ничего не решает.
Сравните задания с пропущенной цифрой. Иногда подходят несколько вариантов. Если указано «наибольшая» или «наименьшая», нужно выбрать крайний из них. Число 9 может дополнять сумму цифр так же, как 0, при проверке на 9, но сами полученные числа будут различными.
Задания 8–9 проверяют классификацию. Чётное число 2 является простым, а остальные положительные чётные числа больше 2 — составными. Нечётное число не обязательно простое. Для доказательства составности достаточно показать подходящую пару множителей больше единицы.
В заданиях 10–12 после получения произведения проверьте каждый множитель. Если остались 4, 6, 9 или другое составное число, разложение нужно продолжить. Единицу не добавляют к списку простых множителей.
Дальнейшая тренировка
Базовый уровень помогает освоить признаки на меньших числах. Средний и повышенный добавляют большие числа, вопросы на полный список делителей и более длинные разложения. Для них можно пользоваться тетрадью и проверять промежуточные деления.
В «Десанте» задания короче: выбрать делитель, применить признак к небольшим числам, распознать простое число или найти пропущенный простой множитель. Полное разложение большого числа удобнее выполнять в игре без ограничения времени.
После попытки прочитайте объяснения. Если ответ получился случайным выбором, составьте похожий пример и объясните правило своими словами. Главное — понимать основание проверки, а не только запомнить одну подходящую последнюю цифру.