Натуральные числа больше единицы можно разделить на простые и составные по количеству положительных делителей. Для этой классификации важно не то, насколько большим кажется число, а то, можно ли разложить его на произведение двух чисел, больших 1.
Простое число
Простое число имеет ровно два положительных делителя: 1 и само число.
У числа 7 делители только 1 и 7. Поэтому 7 — простое. Так же устроены числа 2, 3, 5, 11, 13. Если найден хотя бы один дополнительный делитель, число уже не может быть простым.
Составное число
Составное число — натуральное число больше 1, имеющее больше двух положительных делителей.
Число 15 делится на 1, 3, 5 и 15, значит, оно составное. Достаточно показать произведение 15 = 3 · 5: оба множителя больше 1.
Проверим 21. Оно нечётное, но сумма цифр 2 + 1 = 3 показывает делимость на 3. Получаем 21 = 3 · 7. Следовательно, 21 — составное. Нечётность сама по себе не означает простоту.
Особая роль единицы
У числа 1 только один положительный делитель — сама единица. Для простого числа нужны ровно два делителя, а для составного — больше двух. Поэтому 1 не является ни простым, ни составным.
Нуль тоже не включают в эти две группы: речь идёт о натуральных числах больше единицы. Не относите число к простым только потому, что оно маленькое или не раскладывается привычным способом.
Почему 2 выделяется
Число 2 — единственное чётное простое число. У него делители 1 и 2. Любое другое положительное чётное число больше 2 имеет дополнительный делитель 2 и потому является составным.
Нечётные числа могут быть и простыми, и составными. Например, 13 — простое, а 25 = 5 · 5 — составное. Различать их помогает проверка делителей.
Как проверять
Сначала примените знакомые признаки делимости. Для 57 сумма цифр равна 12, поэтому 57 делится на 3 и является составным. Для 91 признаки на 2, 3 и 5 не подходят, но число всё же составное: 91 = 7 · 13.
Значит, отсутствие делимости на 2, 3 и 5 ещё не доказывает простоту. Для небольшого числа можно проверить возможные пары множителей. У 29 нет подходящей пары, кроме 1 · 29: число простое.
Для числа 29 достаточно проверить возможные меньшие множители 2, 3, 4 и 5. Следующее число 6 даёт 6 · 6 = 36, что уже больше 29. Если бы оба множителя были не меньше 6, их произведение тоже было бы не меньше 36. Значит, любая подходящая пара для 29 должна была содержать уже проверенное меньшее число.
Проверьте себя
1. Является ли 1 простым числом?
Нет. У единицы один положительный делитель; она не простая и не составная.
2. Какое число простое: 17, 21, 27 или 35?
17. Остальные: 21 = 3 · 7, 27 = 3 · 9, 35 = 5 · 7.
3. Почему 49 — составное?
49 = 7 · 7. Кроме 1 и 49 у него есть делитель 7.
4. Назовите единственное чётное простое число.
2.