Признаки делимости на 3 и 9 используют сумму всех цифр числа. Последней цифры здесь недостаточно: два числа с одинаковым окончанием могут давать разные результаты проверки.
Делимость на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Для 123 сумма цифр равна 1 + 2 + 3 = 6. Число 6 делится на 3, следовательно, 123 тоже делится на 3. Проверка делением даёт 123 : 3 = 41.
Для 124 сумма цифр равна 7. Она не делится на 3, поэтому и 124 на 3 не делится. Важно складывать цифры, а не перемножать их.
Делимость на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Для 729 сумма цифр равна 18. Она делится на 9, значит, 729 : 9 = 81. Сумма не обязана равняться самому делителю: подходят 9, 18, 27 и другие кратные 9.
Если сумма цифр большая, можно сложить её цифры ещё раз. Например, для 999 сумма равна 27, а 2 + 7 = 9. Но при объяснении достаточно заметить, что 27 делится на 9.
Как связаны два признака
Каждое число, делящееся на 9, делится и на 3. Обратное неверно. Например, 123 делится на 3, но не на 9: сумма цифр 6 кратна 3 и не кратна 9.
Число 315: сумма цифр 3 + 1 + 5 = 9. Поэтому оно делится на 3 и 9. Последняя цифра 5 также показывает делимость на 5. Число может удовлетворять нескольким признакам одновременно.
Подбор цифры
В записи 4□2 известные цифры дают сумму 6. Для делимости на 3 подходят цифры 0, 3, 6, 9: общая сумма получится 6, 9, 12 или 15. Наименьшая подходящая цифра — 0, наибольшая — 9.
Для делимости 4□2 на 9 требуется сумма 9: неизвестная цифра равна 3. Здесь решение одно. Но если известные цифры уже дают сумму, кратную 9, возможны два варианта: 0 и 9. Например, для 9□0 на 9 делятся и 900, и 990.
Проверяйте весь запрос
В вопросе «какое число не делится на 9» нужно найти исключение. Сначала проверьте все варианты по одному признаку, затем убедитесь, что выбрали именно неподходящее число. Если спрашивают число подходящих вариантов, ответом будет количество, а не один из элементов списка.
Сумма цифр показывает делимость на 3 и 9, но не заменяет признаки на 2, 5 и 10. Для них по-прежнему важна последняя цифра.
Проверьте себя
1. Делится ли 513 на 9?
Да: 5 + 1 + 3 = 9. Частное равно 57.
2. Делится ли 246 на 3 и на 9?
На 3 — да, на 9 — нет: сумма цифр равна 12.
3. Какую цифру поставить в 7□1 для делимости на 9?
1: 7 + 1 + 1 = 9. Получаем 711.
4. Назовите наибольшую цифру в 2□4 для делимости на 3.
9: сумма 2 + 9 + 4 = 15 делится на 3.