Названия «квадрат числа» и «куб числа» связаны с площадью квадрата и объёмом куба. Здесь степень помогает выразить произведение равных длин. Сначала нужно определить, какую величину спрашивают: длину, периметр, площадь или объём.
Площадь квадрата
Если сторона квадрата равна a, его площадь S = a · a = a².
У квадрата две равные длины: вдоль одной стороны и вдоль соседней. Если сторона равна 5 см, площадь составляет 5 · 5 = 25 см². Один квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
Для измерения площади можно мысленно разбить фигуру на единичные квадраты. Пять рядов по пять клеток дают 25 клеток. Запись см² обозначает единицу площади, а не длину ещё одной стороны.
Площадь и периметр
Периметр — длина всей границы фигуры. Для квадрата он равен 4 · a. При стороне 5 см периметр равен 20 см, а площадь — 25 см². Различаются и вычисления, и единицы ответа.
Вопрос «Сколько сантиметров ленты нужно по краю квадратной рамки?» относится к периметру. Вопрос «Какова площадь квадратного листа?» относится к площади. Нельзя выбирать действие только потому, что в обоих условиях названа сторона.
Объём куба
Если ребро куба равно a, его объём V = a · a · a = a³.
У куба равны длина, ширина и высота. Для ребра 3 см каждый слой содержит 3 · 3 = 9 единичных кубиков, а слоёв три. Всего 27 кубиков с ребром 1 см, поэтому объём равен 27 см³.
Площадь одной грани такого куба равна 3² = 9 см². Объём всего куба равен 3³ = 27 см³. Не заменяйте одно другим: грань — плоская фигура, а куб занимает пространство.
Обратные вопросы
Если площадь квадрата равна 49 см², нужно найти натуральное число, квадрат которого равен 49. Проверка 7 · 7 = 49 даёт сторону 7 см.
Если объём куба равен 64 см³, ищем ребро, которое в произведении трёх одинаковых множителей даст 64: 4 · 4 · 4 = 64. Ребро равно 4 см. Деление площади на показатель 2 или объёма на показатель 3 здесь не подходит.
Несколько фигур и единицы
Для двух квадратов со сторонами 3 см и 4 см сумма площадей равна 3² + 4² = 9 + 16 = 25 см². Складывать стороны и возводить полученную сумму в квадрат нельзя: это дало бы площадь другого квадрата.
Если сторона дана в сантиметрах, площадь выражается в см², объём куба — в см³. При длинах в метрах используются м² и м³. Перед вычислением все длины нужно привести к одинаковой единице; в заданиях этого урока необходимые данные уже согласованы.
Проверьте себя
1. Сторона квадрата равна 8 см. Найдите площадь.
8² = 64 см².
2. У того же квадрата найдите периметр.
4 · 8 = 32 см.
3. Ребро куба равно 5 см. Найдите объём.
5³ = 125 см³.
4. Объём куба равен 216 см³. Найдите ребро.
6 см: 6 · 6 · 6 = 216.