Итоговая практика объединяет запись степеней, вычисление квадратов и кубов, степени десяти, порядок действий и геометрические задачи. Сначала выполните задания в тетради, затем откройте ответы. Новых правил в этом уроке нет.
Перед началом
- Объясните, что показывает основание и что показывает натуральный показатель.
- Запишите произведением квадрат и куб числа.
- Вспомните, сколько нулей и цифр содержит степень десяти.
- Определите место степеней в порядке действий.
- Различите длину, периметр, площадь и объём.
Если вычисление вызывает трудности, разверните степень в произведение одинаковых множителей. Сосчитайте их количество и используйте обычное умножение. Для выражений со скобками сначала выделите основание каждой степени.
Двенадцать заданий
1. Назовите основание и показатель степени 7⁴.
Основание 7, показатель 4.
2. Запишите 3 · 3 · 3 · 3 · 3 степенью.
3⁵. Одинаковых множителей пять.
3. Вычислите 2⁵.
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
4. Найдите 12² и 4³.
144 и 64 соответственно.
5. Квадрат какого натурального числа равен 225?
15: 15 · 15 = 225.
6. Запишите 100 000 степенью десяти.
10⁵: единица и пять нулей.
7. Вычислите 6 · 10⁴.
60 000.
8. Найдите 4 + 5².
4 + 25 = 29.
9. Найдите (4 + 5)².
9² = 81.
10. Вычислите 2 · 3³ + 4².
2 · 27 + 16 = 54 + 16 = 70.
11. У квадрата сторона 6 см. Найдите площадь и периметр.
Площадь 6² = 36 см²; периметр 4 · 6 = 24 см.
12. Ребро куба равно 4 см. Найдите объём и площадь одной грани.
Объём 4³ = 64 см³; площадь одной грани 4² = 16 см².
Как разобрать результат
Задания 1–3 проверяют смысл записи степени. Если основание и показатель перепутаны, вернитесь к развёрнутому произведению. Показатель сообщает число множителей, а не число знаков умножения и не величину, на которую нужно умножить основание.
В заданиях 4–5 сравните квадрат и куб. Для квадрата нужны два одинаковых множителя, для куба — три. Обратный вопрос решается подбором и проверкой: найденное число нужно возвести в соответствующую степень. Деление результата на 2 или 3 не даёт нужного правила.
Задания 6–7 связаны с десятичной записью. В 10⁵ пять нулей и шесть цифр. В записи 6 · 10⁴ число 6 является отдельным множителем, а степень относится к основанию 10. Поэтому результат равен 60 000, а не шестидесяти в четвёртой степени.
Задания 8–10 требуют внимания к порядку действий. В выражении 4 + 5² возводят в квадрат только 5; в выражении (4 + 5)² основанием служит вся сумма. В более длинной записи сначала найдите степени, затем произведения и только потом сумму.
В заданиях 11–12 проверяйте единицы ответа. Периметр выражается в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах, объём — в кубических. Одно верное число без понимания величины ещё не завершает решение.
Тренировка после самопроверки
Базовый уровень помогает освоить запись и небольшие вычисления. Средний и повышенный добавляют большие основания и смешанные выражения. Для подробных вычислений можно пользоваться тетрадью и проверять каждое промежуточное произведение.
В «Десанте» задания короче: прочитать основание или показатель, найти небольшой квадрат или куб, степень десяти либо результат первого действия. Для вычисления кубов используются основания не больше 5. Скорость можно уменьшить. Длинные выражения удобнее разбирать в играх без ограничения времени.
После попытки прочитайте объяснения. Если ответ выбран случайно, решите похожий пример с другими числами. Полезный результат повторения — умение объяснить, почему в записи появляются именно два, три или другое число одинаковых множителей.