В выражениях со степенями важно определить, к чему относится показатель. Он может стоять у отдельного числа или у целой группы в скобках. От этого зависит первое действие и итоговый ответ.
Порядок действий
- Выполните действия в скобках, начиная с внутренних.
- Вычислите степени.
- Выполните умножение и деление слева направо.
- Выполните сложение и вычитание слева направо.
Внутри скобок действует тот же порядок. Если в них есть степень, её вычисляют раньше сложения или умножения, относящихся к этой же группе.
Степень отдельного числа
3 + 4² = 3 + 16 = 19. Сначала вычисляется квадрат числа 4, а не сумма 3 и 4.
В записи 2 · 3² степень относится только к числу 3. Поэтому 2 · 3² = 2 · 9 = 18. Число 2 не входит в основание степени и остаётся обычным множителем.
Степень группы в скобках
(3 + 4)² = 7² = 49. Сначала найдена сумма, потому что основанием степени служит всё выражение в скобках.
По той же причине (2 · 3)² = 6² = 36. Сравните: 2 · 3² = 18, но (2 · 3)² = 36. Скобки показывают границы основания и не могут быть отброшены без объяснения.
Смешанное выражение
Вычислим 4³ : 8 + 2². Сначала степени: 4³ = 64 и 2² = 4. Получаем 64 : 8 + 4. Затем деление: 8 + 4. Последнее сложение даёт 12.
Правильная цепочка сохраняет всё выражение: 4³ : 8 + 2² = 64 : 8 + 4 = 8 + 4 = 12. Запись 4³ : 8 + 2² = 64 = 8 = 12 неверна: промежуточные значения отдельных частей не равны исходному выражению.
Равноправные действия
После вычисления степеней умножение не получает преимущества перед делением. Например, 8² : 4 · 2 = 64 : 4 · 2 = 16 · 2 = 32. Нельзя сначала перемножать 4 и 2, если они не выделены скобками.
В выражении 30 − (2 + 3)² сначала найдите сумму 5, затем её квадрат 25, затем разность 5. Это отличается от записи 30 − 2 + 3², где квадрат относится только к числу 3.
Проверка записи
Перед вычислением обведите основание каждой степени. Если показатель стоит после закрывающей скобки, основанием является вся группа. Затем отметьте первое действие и только после этого начинайте считать.
В этом курсе используются натуральные показатели и неотрицательные числа. Если после вычисления знаменателя или делителя получилось 0, деление выполнить нельзя. Например, 12 : (2² − 4) не имеет числового значения.
Проверьте себя
1. Найдите 5 + 3².
5 + 9 = 14.
2. Найдите (5 + 3)².
8² = 64.
3. Вычислите 3 · 4² − 8.
3 · 16 − 8 = 48 − 8 = 40.
4. Вычислите 6² : 3 · 2.
36 : 3 · 2 = 12 · 2 = 24.