У второй и третьей степеней есть короткие названия. Вторую степень называют квадратом числа, третью — кубом числа. Эти названия связаны с геометрическими фигурами, но сначала научимся вычислять соответствующие произведения.
Квадрат числа
a² = a · a
«Пять в квадрате» и «пять во второй степени» означают одно и то же: 5² = 25.
Квадрат числа нельзя в общем случае заменять его удвоенным значением. Для 7 квадрат равен 49, а удвоенное число равно 14. Совпадение для отдельных маленьких чисел не превращает эти действия в одно правило.
Куб числа
a³ = a · a · a
Чтобы найти куб, сначала вычислите квадрат, затем умножьте его ещё раз на основание.
Например, 4³ = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64. Это не 4 · 3 = 12. При записи 4³ число 3 показывает количество четвёрок в произведении.
12³. Сначала 12² = 144, затем 144 · 12 = 1728. Значит, куб числа 12 равен 1728.
Небольшая таблица для тренировки
| Число | Квадрат | Куб |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
Таблица помогает проверить первые результаты. Если число в ней отсутствует, вычисляйте произведение. Например, 14² = 14 · 14 = 196. Знать все квадраты наизусть для этого не нужно.
Обратный вопрос
Иногда известно значение квадрата или куба и нужно найти исходное натуральное число. Вопрос «Квадрат какого числа равен 81?» решается подбором по таблице умножения: 9 · 9 = 81, значит, это 9.
Если куб равен 125, проверяем 5 · 5 · 5 = 125. Ответ — 5. Мы не делим 125 на показатель 3: такое действие не восстанавливает основание. В этих заданиях ответ ищем среди натуральных чисел; новые знаки извлечения корня не требуются.
Действия с готовыми значениями
Чтобы найти 6² + 4², сначала вычисляем каждый квадрат: 36 + 16 = 52. Складывать основания и только потом возводить сумму в квадрат нельзя: (6 + 4)² = 100 — другое выражение.
Аналогично 5³ − 5² = 125 − 25 = 100. Степени сохраняют свои показатели, пока их значения не найдены. Порядок более длинных вычислений разберём в отдельном уроке.
Проверьте себя
1. Найдите 11².
11 · 11 = 121.
2. Найдите 7³.
7 · 7 · 7 = 49 · 7 = 343.
3. Квадрат какого натурального числа равен 169?
13: 13 · 13 = 169.
4. Вычислите 3² + 4².
9 + 16 = 25.