Произведение одинаковых множителей можно записать короче с помощью степени. Вместо 6 · 6 · 6 пишут 6³ и читают «шесть в третьей степени». В этом уроке научимся читать такую запись, отличать основание от показателя и правильно выполнять вычисление.
Что обозначают два числа
Основание степени показывает, какой множитель повторяется. Натуральный показатель сообщает, сколько одинаковых множителей входит в произведение.
В записи 7⁴ основание равно 7, показатель — 4. Поэтому 7⁴ = 7 · 7 · 7 · 7 = 2401. Большое число внизу и маленькое справа вверху выполняют разные роли; переставлять их без изменения смысла нельзя.
Сначала развёрнутая запись
При первом знакомстве со степенями полезно каждый раз записывать произведение полностью. Например, 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Последовательное умножение даёт 4, 8, 16, 32. Следовательно, 2⁵ = 32.
Не путайте число множителей с числом знаков умножения. В произведении 3 · 3 · 3 три множителя, но два знака действия. Его показатель равен 3, а не 2.
Запишем 4 · 4 · 4 · 4 степенью. Повторяется множитель 4, одинаковых множителей тоже четыре. Получаем 4⁴. Для произведения 9 · 9 ответ будет 9².
Степень и умножение на показатель
Записи 5³ и 5 · 3 имеют разные значения. В первом случае 5 · 5 · 5 = 125, во втором 5 + 5 + 5 = 15. Показатель степени не является множителем, который нужно просто приписать к основанию через знак умножения.
Чтобы вычислить aⁿ при натуральном показателе n, нужно взять n одинаковых множителей a. Это не действие a · n.
Первая степень, единица и нуль
Первая степень любого числа равна самому числу: 14¹ = 14. Произведение в этом случае состоит из одного множителя. Это отдельный простой случай общей записи.
Любая степень единицы с натуральным показателем равна 1: 1⁷ = 1. Любая степень нуля с натуральным показателем равна 0: 0³ = 0. Здесь показатель обязательно положительный; степени с показателем 0 в этом курсе не рассматриваются.
Как себя проверить
Закройте верхнее маленькое число и назовите основание. Затем посчитайте множители в развёрнутой записи и сравните их количество с показателем. Для вычисления не требуется новый способ умножения: используйте уже знакомые действия.
Если при основании больше 1 и показателе больше 1 ответ оказался меньше основания, нужно проверить вычисления. Например, 8² не может равняться 16 только потому, что 8 · 2 = 16: правильная запись 8 · 8 = 64.
Проверьте себя
1. Назовите основание и показатель степени 12³.
Основание 12, показатель 3.
2. Запишите произведение 7 · 7 · 7 · 7 степенью.
7⁴: четыре одинаковых множителя 7.
3. Вычислите 3⁴.
3 · 3 · 3 · 3 = 81.
4. Найдите 18¹, 1⁵ и 0⁴.
18, 1 и 0 соответственно.