3. Умножение и деление натуральных чисел
п1. Умножение натуральных чисел и его свойства
Умножить число m на натуральное число n - значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.
Свойства умножения:
- Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
- Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
- Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
- Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.
Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)
п2. Деление
Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.
Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.
Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.
На нуль делить нельзя!
Свойства деления:
- При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
- При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
- При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
48 : х = 4 х = 48 : 4
х = 12
п3. Деление с остатком
Остаток всегда меньше делителя.
Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.
Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.
Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d. а = с · b + d
п4. Упрощение выражений
Свойства умножения:
- Распределительное свойство умножения относительно сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а - b)с = ас - bc.
3а + 7а = (3 + 7)а = 10а
Решить уравнение:
3у + 7у + 25 = 85
(3 + 7)у + 25 = 85
10у + 25 = 85
10у = 85 – 25
10у = 60
у = 60 : 10
у = 6
п5. Порядок выполнения действий
Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.
Правила порядка выполнения действий:
- Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
- Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
- Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).
Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.
п6. Квадрат и куб
Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче:
а · а · а · а · а · а = а6
Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение а6 - называют степенью.
Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (эн в квадрате): n2 = n · n
Таблица квадратов:
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
n2 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
|
n |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
n2 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
400 |
|
Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе): n3 = n · n · n Таблица кубов: |
|
|||||||||
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
n3 |
1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
Первая степень числа равна самому числу.
Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.