3.  Умножение и деление натуральных чисел

п1. Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число m на натуральное число n  - значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Свойства умножения: 

  1. Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
  2. Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
  3. Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
  4. Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.

Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)

п2. Деление

Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. 

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

На нуль делить нельзя!

Свойства деления: 

  1. При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
  2. При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
  3. При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х  = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.  х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

48 : х = 4 х = 48 : 4

х = 12

п3. Деление с остатком

Остаток всегда меньше делителя.

Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное  с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d.  а = с · b + d

п4. Упрощение выражений

Свойства умножения:

  1. Распределительное свойство    умножения относительно      сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
  2. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а - b)с = ас - bc.

3а + 7а = (3 + 7)а = 10а

Решить уравнение: 

3у + 7у + 25 = 85

(3 + 7)у + 25 = 85

10у + 25 = 85

10у  = 85 – 25

10у = 60

у = 60 : 10

у = 6

п5. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Правила порядка выполнения действий:

  1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
  2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
  3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

 

п6. Квадрат и куб

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: 

а · а · а · а · а · а = а6

Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение  а6 - называют степенью.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (эн в квадрате):  n2 = n · n

Таблица квадратов:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n2

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

 

Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе):  n3 = n · n · n

Таблица кубов:

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

 

Первая степень числа равна самому числу.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.