При решении математических задач иногда возникает потребность обосновать, что определенное свойство выполняется для произвольного натурального числа n.
Проверить данное свойство для каждого натурального числа мы не можем — их количество бесконечно. Приходится рассуждать так:
1) я могу проверить, что это свойство выполняется при n = 1;
2) я могу обосновать: если рассматриваемое свойство выполняется для некоторого значения n, то оно выполняется и для следующего значения. Таким образом, свойство будет выполняться для каждого следующего числа, начиная с единицы, то есть для всех натуральных чисел.
Такой способ рассуждений при доказательстве математических утверждений называется методом математической индукции. Он является одним из универсальных методов доказательства математических утверждений, в которых содержатся слова «для любого натурального n» (возможно, не сформулированные явно). Доказательство с помощью этого метода всегда состоит из двух этапов:
1) начало индукции: проверяется, выполняется ли рассматриваемое утверждение при n = 1;
2) индуктивный переход: доказывается, что если данное утверждение выполняется для k, то оно выполняется и для k +1.
Таким образом, начав с n = 1, мы на основании доказанного индуктивного перехода получаем, что сформулированное утверждение справедливо и для n = 2, 3, ..., то есть для любого натурального n.
На практике этот метод удобно применять по схеме, приведенной в таблице 14.
Примеры решения задач
Задача 1 Докажите, что 10n – 9n – 1 делится на 81 при любом натуральном n.
Комментарий
Поскольку утверждение необходимо доказать для любого натурального п, то используем метод математической индукции по схеме, приведенной в таблице 14. При выполнении индуктивного перехода (от n = k к n = k + 1) представим выражение, полученное при n = k + 1, как сумму двух выражений: того, что получили при n = k, и еще одного выражения, которое делится на 81.
Доказательство
- Проверяем, выполняется ли данное утверждение при n = 1. Если n = 1, данное выражение равно 0, то есть делится на 81. Таким образом, данное свойство выполняется при n = 1.
- Предполагаем, что данное утверждение выполняется при n = k, то есть что 10k – 9k – 1 делится на 81.
- Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1, то есть что 10k+1 – 9(k + 1) – 1 делится на 81.
10k+1 – 9(k + 1) – 1 = 10k•10 – 9k – 9 – 1 = 10(10k – 9k – 1) + 81k.
Выражение в скобках — это значение заданного выражения при n = k, которое по предположению индукции делится на 81. Следовательно, каждое слагаемое последней суммы делится на 81, тогда и вся сумма, то есть 10k+1 – 9(k + 1) – 1, делится на 81. Таким образом, данное утверждение выполняется и при n = k + 1.
- Следовательно, 10n – 9n – 1 делится на 81 при любом натуральном п.
Задача 2 Докажите, что 2n > 2n + 1, если n ≥ 3, n ∈ N.
Комментарий
Поскольку утверждение должно выполняться, начиная с n = 3, то проверку проводим именно для этого числа. Записывая предположение индукции, удобно воспользоваться тем, что по определению понятия «больше» a > b тогда и только тогда, когда a – b > 0. Доказывая неравенство при n = k + 1, снова используем то же определение и доказываем, что разность между его левой и правой частями положительна.
Доказательство
- При n = 3 получаем 23 > 2•3 + 1, то есть 8 > 7 — верное неравенство. Таким образом, при n = 3 данное неравенство выполняется.
- Предполагаем, что данное неравенство выполняется при n = k (где k ≥ 3):
2k > 2k + 1, то есть
2k – 2k – 1 > 0. (1)
- Докажем, что данное неравенство выполняется и при n = k + 1, то есть докажем, что 2k+1 > 2 (k + 1) + 1.
Рассмотрим разность: 2k+1 – (2 (k + 1) + 1) = 2k•2 – 2k – 3 = 2 (2k – 2k – 1) + 2k – 1 > 0
(поскольку выражение в скобках по неравенству (1) положительно и при k ≥ 3 выражение 2k – 1 также положительно). Следовательно, 2k+1 > 2 (k + 1) + 1, то есть данное неравенство выполняется и при n = k + 1.
4. Итак, данное неравенство выполняется при всех натуральных n ≥ 3.
Упражнения
Докажите с помощью метода математической индукции (1–12).
