10. Многочлены от одной переменной и действия над ними.

 

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ТОЖДЕСТВЕННОЕ РАВЕНСТВО

 

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной пе­ременной, например от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в на­туральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел запи­сать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандарт­ном виде), то получим выражение вида ахn, где а — некоторое число. Поэто­му одночлен от одной переменной х — это выражение вида ахп, где а — не­которое число, п — целое неотрицательное число. Если а  0, то показатель степени п переменной х называется степенью одночлена. Например, 25х6 —одночлен шестой степени, — х2/3— одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (по­скольку 0 = 0 • х = 0 • х2 = 0 • х3...).

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одно­членов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

f (х) =  аnхn   + аn-1 хn-1 + ... + а2х21х +а0,                                       (1)

где коэффициенты аn, аn-1, …., а0 – некоторые числа.

Если аn   0, то этот многочлен называют многочленом п-й степени от переменной х. При этом член аnхп называют старшим членом многочлена f (х), число аn — коэффициентом при старшем члене, а член а0 — свобод­ным членом. Например, 5х3 - 2х + 1 — многочлен третьей степени, у кото­рого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) запи­сывают так:

f (x) = b0xn + b1xn - 1 + ... + b n - 1x + b n, где b0, b1, ..., bn — некоторые числа.

Т е о р е м а 1. Одночлены ахn, где а ≠ 0, и bxm, где b ≠ 0, тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и п = т.д.

Одночлен ахn тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

n = bхn                                         (2)

выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тожде­ственно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что a = b. Сокращая обе части равенства (2) на a (где a ≠ 0 по условию), получаем xn =xm . При х = 2 из этого равенства имеем: 2n = 2m. Поскольку 2n = 2• 2•... • 2 (n раз),

а 2m = 2 • 2 •... • 2 (m раз), то равенство 2n = 2m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства axn = bxm (a  0, b  0) по­лучаем, что a = b и n = m.

Если известно, что axn = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен axп тождественно равен нулю при a = 0 (тогда axn = 0 • xn = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • хn будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

Пусть f (x) = anхn + an-1хn-1  + ... + a1х + a0 = 0 (тождественно).

При n = 0 имеем f (х) = a0 = 0, поэтому a0 = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при n = k это утверждение также выполняется: если многочлен akхk + ak-1хk-1 + ... + a1х + a0 тождественно равен 0, то

ak = ak - 1 = ... = a1 = a0 = 0.

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

f (x) = ak+1xk + akхk  + ... + a1х + a0 = 0.                     (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подстав­ляя в это равенство х = 0, получаем, что a0 = 0. Тогда равенство (3) об­ращается в следующее равенство: ak+1xk+1+ akxk  + ... + a1x = 0. Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим

х (ak+1 + xk + akxk-1  + ... + a1) = 0.                    (4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при х  0, должно выполняться тождество ak+1xk + akxk-1 + ... + a1 = 0.

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от х0 до xk .Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: ak + 1 = ak = …= a1 = 0. Но мы также доказали, что a0 = 0,

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательно­го n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называ­ют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен f (х) = аnхn + аn-1хn - 1 + ... + а2х2 + а1х + а0, а много­член g (x) = bmxm + bm - 1xm - 1 + ... + b2x2 + b1x + b0. Рассмотрим многочлен f (x) - g (x). Поскольку многочлены f (x) и g (x) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) - g (x) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но f (x) - g (x) =(a0 - b0) + (a1 - b1) x +(а2  - b2) х2+ ... .

Тогда a0 - b0 = 0, a1 - b1 = 0, а2 - b2 = 0, ... . Отсюда a0 = b0, a1 = b1s а2 = b2, ... . Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, n боль­ше m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (m + 1)-го номера все коэффициенты at также будут равны нулю. То есть действительно многочлены f (x) и g (x) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах2 + bх + с (а ≠ 0).

Получаем тождество:

(х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 = (ах2 + bх + с)2.      (5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравни­вая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

x4

1 = a2

x3

2 + 4 + 6 + 8 = 2ab

x2

2-4 + 2-6 + 2-8 + 4-6 + 4-8 + 6-8 = b2 + 2ac

x1

2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc

x0

2 - 4 - 6 - 8 + 16 = c2

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1.

При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b и с последние два равенства также выпол­няются. Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, b = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а = -1, b = -10, с = -20).

Таким образом, (х + 2)(х+ 4)(х+ 6)(х+8) + 16=(х2 +10х + 20)2.

Упражнения

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

1)f (x) = 2x2 - (3 - а) x + b, g (x) = cx3 + 2dx2 + x + 5;

2)f (x) = (а + 1) x3 + 2, g (x) = 3x3 + bx2 + (c - 1) x + d.

2. Найдите такие числа a.b.c чтобы данное равенство a(x2-1)+b(x-2)+c(x+2)=2 выполнялось при любых значениях x.

3. Докажите тождество:

1)(x  - 1)(х +1)(х2 - х + 1)(х2 + х +1) =х6 - 1;

2)1+х4=(1+х +х2)(1-х +х2).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

1)(х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) + 1;

2)(х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а4.

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х4 + 4х3 + 8х2 + 3х + 2 = (3х2 + ах + 1)(х2 + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х2+x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2

 

10.2. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ

 

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В ре­зультате выполнения действий сложения или умножения над многочлена­ми от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени можно получить многочлен этой же степени или многочлен меньшей степени.

Например, 3 - 5х2 + 3х + 1 + (-2х3 + 5х2 + х + 5) = 4х + 6.

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей из степеней слагаемых.

Например, (3х3 - 5х + 7) + (х2 + 2х + 1) = 3х3 + х2 - 3х + 8.

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению це­лых чисел. Напомним, что число а делится на число b (b≠  0), если суще­ствует такое число q, что а = b • q.

Определение 3. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) —не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (x), что

А (х) = В (х) • Q (x).

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен вы­полняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком

Разделить с остатком многочлен А (х) на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) — это означает найти такую пару многочленов Q (x) и R (x), что А ) = В (х) • Q (x) + R (x), причем степень остатка R (x) меньше степени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называют неполным частным.)

Например, поскольку х3 - 5х + 2 = (х2 - 5) х + 2, то при делении много­члена х3 - 5х + 2 на многочлен х2 - 5 получаем неполное частное х и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

Алгоритм. При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член де­лимого на старший член делителя. Потом полученный результат умножают на делитель, и это произведение вычитают из делимого. С полу­ченной разностью выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат снова умножа­ют на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не по­лучится в остатке 0 (если один многочлен делится на другой) или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Пример. Разделим многочлен А (х) = х4 - 5х3 + х2 + 8х - 20 на многочлен B(x)= х2 - 2х+3

Докажем, что полученный результат действительно является результа­том деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через f1 (x), второго шага — через f2 (x), третьего — через f3 (x), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

f1(x) = А (х) - х2 • В (х);                             (1)

f2 (x) = A (x) - (-) • В (х);                       (2)

f3 (x) = f2(x) - (-8) • В (х).                         (3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

А (х) = (х2 - 3х - 8) • В (х) + f3 (x).                      (4)

Учитывая, что степень многочлена f3 (x) = х + 4 меньше степени делителя

В (х) = х2 - 2х + 3, обозначим f3 (x) = R (x) (остаток), а х2 - 3х - 8 = Q (x) (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: А (х) = В (х) - Q (x) + R (x), то есть х4 - 5х3 + х2 + 8х - 20 = (х2 - 2х + 3)(х2 - 3х - 8) + х + 4, а это и означает, что мы разделили А (х) на В (х) с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (x) и остаток R (x).

То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Для любой пары многочленов А (х) и В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) существует и притом единственная пара многочленов
Q(x) и R(x), такая, что А(х)=В(х)*Q(x) + R(x), причем сте-
пень R (x) меньше степени В (х) (или R (x) — нулевой многочлен).

Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени дели­теля В (х), считают, что неполное частное Q (x) = 0, а остаток R (x) = А (х).

Упражнения

1.Выполните деление многочлена на многочлен:

1)3х3 - 5х2 + 2х - 8 на х - 2;               2)  х10 + 1 на х2 + 1;

3)х5 + 3х3 + 8х - 6 на х2 + 2х + 3.

2. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

1)4х4 - 2х3 + х2 - х + 1 на x2 + x + 2;

2)х5 + х4 + х3 + х2 + 1 на х2 - х - 2.

3.При каких значениях а и b многочлен А (х) делится без остатка на мно­гочлен В(х)?

1)А (х) = х3 + ах + b, В (х) = х2 + 5х + 7;

2)А (х) = 2х3 - 5х2 + ах + b, В (х) = х2 - 4;

3)А (х) = х4 - х3 + х2 - ах + b, В (х) = х2 - х + 2.

4.Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена А(х) на многочлен В(х) методом неопределенных коэффициентов:

1)А (х) = х3 + 6х2 + 11х + 6, В (х) = х2 - 1;

2)А (х) = х3 - 19х - 30, В (х) = х2 + 1.

 

10.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ФОРМУЛЫ ВИЕТА

 

 Рассмотрим деление многочлена f (x) на двучлен (х – а). Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен f (x) на двучлен (х – а), то получим

f (x) = (х – а)*Q (x) + R.

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При х = а имеем f (а) = R. Полученный результат называют теоремой Безу.

Те о р е м а 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (х) на двучлен (х – а) равен f (а) (то есть значению многочлена при х = а).

Задача 1. Докажите, что х5 – 3х4 + 2х3 + 4х – 4 делится на х – 1 без остатка.

  • Подставив в f (х) = х5 – 3х4 + 2х3 + 4х – 4 вместо х значение 1, получаем: f (1) = 0. Таким образом, остаток от деления f (х) на (х – 1) равен 0, то есть f (x) делится на (х – 1) без остатка.

О п р е д е л е н и е. Число α называют корнем многочлена f (x), если f (α) = 0.

Если многочлен f (х) делится на (х – α), то α — корень этого многочлена.

  • Действительно, если f (х) делится на (х – α), то f (х) = (х – α)*Q (x) и поэтому f (α) = (α – α)*Q (α) = 0. Таким образом, α — корень многочлена f (х).

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Т е о р е м а 2. Если число α является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на двучлен (х – α) без остатка.

  • По теореме Безу остаток от деления f (x) на (х – α) равен f (α). Но по условию α — корень f (x), таким образом, f (α) = 0.

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Те о р е м а 3. Если многочлен f (x) имеет попарно разные корни α1, α2, ..., αn, то он делится без остатка на произведение

(х – α1)(x – α2)*...*(х – αn).

  • Для доказательства используем метод математической индукции.

При  n= 1 утверждение доказано в теореме 2. Допустим, что утверждение справедливо при n = k. То есть если α1, α2, ..., αk — попарно разные корни многочлена f (x), то он делится на произведение (х – α1)(х – α2)*…*(х – αk). Тогда

f (x) = (х – α1)(х – α2)*...*(х – αk)*Q (x).                               (1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при n = k + 1. Пусть α1, α2, ..., αk, αk + 1 — попарно разные корни многочлена f (x). Поскольку αk + 1 — корень f (x), то f (αk + 1) = 0.

Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно предположению индукции, получаем:

f (αk + 1) = (αk + 1 α1)(αk + 1 α2)*...*(αk + 1 αk)*Q (αk + 1) = 0.

По условию все корни α1, α2, ..., αk, αk + 1 разные, поэтому ни одно из чисел αk + 1 – α1, αk + 1 – α2, ..., αk + 1 – αk не равно нулю. Тогда Q (αk + 1) = 0. Таким образом, αk + 1 — корень многочлена Q (x). Тогда по теореме 2  Q (x) делится на (х – αk + 1), то есть Q (x) = (х – αk + 1)*Q1 (x) и из равенства (1) имеем

f (x) = (х – α1)(х – α2)*...*(х – αk)(х – αk + 1)* Q1(x).

Это означает, что f (х) делится на произведение

(х – α1)(х – α2)*...*(х – αk)(х – αk + 1),

 то есть теорема доказана и при n = k + 1.

 Таким образом, теорема справедлива для любого натурального n.

С л е д с т в и е. Многочлен степени n имеет не больше n разных корней.

  • Допустим, что многочлен n-й степени имеет (n + 1) разных корней: α1, α2, ..., αn, αn+ 1. Тогда f (x) делится на произведение (х – α1)(х – α2)*... *(х – αn + 1) — многочлен степени (n+ 1), но это невозможно. Поэтому многочлен n-й степени не может иметь больше, чем n корней.

Пусть теперь многочлен n-й степени f (x) = аnхn + аn– 1 хn–1 + ... + а2х2 + а1х +  а0 (an ≠ 0) имеет n разных корней α1, α2, ..., αn. Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение (х – α1)(х – α2)*...*(х – αn). Это произведение является многочленом той же n-й степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

аnхn + аn – 1 хn – 1 + … + а2х2 + а1х + а0 = b (х – α1)(х – α2)*...*(х – αn).                (2)

 Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что b = аn, то есть

 

аnхn + аn – 1 хn – 1 + ... + а2х2 + а1х + а0 = аn (х – α1)(х – α2)*...*(х – αn)          (3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

a1+a2+…+an= - an-1/an;

a1a2+a1a3+…+an-1an= an-2/an;

(4)

a1a2a3+a1a2a4+…+an-2an-1an= - an-3/an;

. . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1a2a3…an= (-1)n * a0/an.

Например, при n = 2 имеем:

a1+a2= - a1/a2, a1a2 = a0/a2

а при n = 3:

a1+a2+a3= - a2/a3;

a1a2+ a1a3+ a2a3 = a1/a3;

(5)

a1a2a3 = -  a0/a3.

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием того, чтобы числа α1, α2, …, αn были корнями многочлена f (x) = аnхn + аn – 1 хn – 1 + ... + а2х2 + а1х + а0 (an ≠ 0). Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена f (x) разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен f (x) делится без остатка на (х – α)k, но не делится без остатка на (х – α)k + 1, то говорят, что число α является корнем кратности k многочлена f (x).

Например, если произведение (х + 2)3(х – 1)2(х + 3) записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (–2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (–3) — корнем кратности 1.

 При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Задача 2. Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

f (x) = х3 + 2х2 – 4х – 8.

  • f(x) = х3 + 2х2 – 4х – 8 = х2 (х + 2) – 4 (х + 2) = (х + 2)(х2 – 4) = (х – 2)(х + 2)2 .

 Поэтому f (х) имеет корни: α1 = 2, α2 = –2, α3 = –2 (поскольку (–2) — корень кратности 2). Проверим справедливость формулы (5).

В нашем случае: а3 = 1, а2 = 2, а1= –4, а0 = –8. Тогда

2+(-2)+(-2)=-2/1; 2*(-2)+2*(-2)+(-2)*(-2)=-4/1; 2*(-2)*(-2)=-(-8)/1

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Задача 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х2 – 8х + 4 = 0.

  • Обозначим корни уравнения х2 – 8х + 4 = 0 через х1 и х2. Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа a1=x12  и a2=x22 . Поэтому искомое уравнение имеет вид х2 + рх + q = 0,

 где p=-(a1+a2)=-(x12+x22)=-((x1+x2)2-2x1x2), q=a1a2=x12x22=(x1x2)2

По формулам Виета имеем х1 + х2 = 8 и х1х2 = 4. Отсюда находим, что

q = (х1х2)2 = 42 = 16, а p = −((x1+x2)2-2x1x2) = -(82-2*4)=-56.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид х2 – 56х + 16 = 0.

Упражнения

  1. Найдите остаток от деления многочлена х5 – 4х4 + 2х3 – 5х + 1 на х + 2.
  2. Найдите коэффициент а, зная, что остаток от деления многочлена х3 – ах2 + 5х – 3 на х – 1 равен 6.
  3. Многочлен f (х) при делении на х – 1 дает остаток 4, а при делении на х – 3 дает остаток 6. Найдите остаток от деления многочлена f (х) на х2 – 4х + 3.
  4. При каких значениях а и b многочлен х4 + 2х3 + ах2 – bх + 2 делится без остатка на х + 2, а при делении на х – 1 имеет остаток, который равен 3?
  5. Остаток от деления многочлена f (x) на 2 – 5х + 2 равен 7х + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на двучлены х – 1 и 3х – 2.
  6. Запишите формулы Виета при n = 4.
  7. Составьте кубический многочлен, который имеет корни 5, –2, 1 и коэффициент при старшем члене –2. Решите задачу двумя способами.
  8. При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена х2 – (а + 2) х + 3а равна 12?
  9. Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

f (х) = х5 – 5х4 + 7х3 – 2х2 + 4х – 8?

  1. Составьте кубический многочлен, который имеет корень 3 кратности 2 и корень (–1), а коэффициент при старшем члене 2.
  2. Найдите такие а и b, чтобы число 3 было корнем кратности не меньше чем 2 для многочлена f (х) = х3 – 5х2 + ах + b.
  3. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения х2 – 5х + 1 = 0.
  4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 2 – 5х + 1 = 0.
  5. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х2 + 6х + 3 = 0.

 

10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

 

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

  • Пусть многочлен f (x) = а0хn + а1хn– 1 + ... + аn – 1 х + аn (a0 ≠ 0) необходимо разделить на двучлен (х – а). В результате деления многочлена n-й степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен Q (x) (n – 1)-й степени (то есть Q (x) = b0x n – 1 + b1x n – 2 + ... + bn – 2 x + b n – 1, где b0 ≠ 0) и остаток R. Тогда f (x) = (х – а)*Q (x) + R, то есть а0хn + а1хn – 1 + ... + аn – 1 х + аn = = (х – а)*(b0xn – 1 + b1xn – 2 + ... + bn – 2 x + bn – 1) + R. Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х:

    Xn

    а0 = b0

    Xn-1

    а1 = b1 – аb0

    Xn-2

    а2 = b2 – аb1

    . . . . . .

    . . . . . . . . . . . .

    X1

    аn – 1 = bn – 1 – аbn – 2

    X0

    аn = R – аbn – 1

    Найдем из этих равенств коэффициенты b0, b1, ..., bn – 1 и остаток R: b0 = а0, b1 = ab0 + a1, b2 = ab1 + a2, …, bn – 1 = abn – 2 + an – 1, R = abn – 1 + an.

    Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент bk + 1 неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент bk умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х4 – 2х3 – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 4 – 2х3 – 4х +1 = (х – 2)(3х3 + 4х2 + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х4 + 6х3 + 4х2 – 2х – 42.

  • По теореме Безу остаток от деления многочлена f (х) на х – а равен f (а), поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления f (х) на х – (–3) = х + 3

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

  1. Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = х3 + 3х2 + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х3 – 26х2 + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х4 – 15х2 + 10х + 24; В (х) = х + 3.

  1. Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен f (x) на двучлен q (x):

1) f (х) = 4х3 – х2 – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х4 – 8х3 + 15х2 + 4х – 20; q (x) = x – 2.

  1. Разделите многочлен А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = 2х3 – 19х2 + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х3 – 24х2 + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.

 

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

 

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x+a0  имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q  несократимая), то р является делителем свободного члена (a0), а q — делителем коэффициента при стар­шем члене аn.

     Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

an * pn/qn + an-1 * pn-1/qn-1 + … + a1 * p/q + a0 = 0.

(1)

            Умножим обе части равенства (1) на  (q ≠ 0). Получаем

аnрn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1 + a0qn = 0.

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a0qn = -(аnрn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a0qn может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a0 делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a0.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

anpn = -(an-1pn-1q + … + a1pq-1 + a0qn) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то an делится на q, следовательно, q — де­литель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a0. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент аn = 1, то делителями аn могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х3х2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

3 – х2 + 12х – 6 = (x 1/2) (2x2 + 12).

Многочлен 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х4 + 3х3 – 2х2х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 3 + 5х2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем  Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х2 + х +1).

Квадратный трехчлен 2х2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х4 + х3 + 3х2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

х4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2 + ах + b)(х2 + сх + d),

(3)

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х4 + х3 + 3х2 + х + 6 = x4 + cx3 + dx2 +

                                                      + ax3 + acx2 + adx +

                                                                    + bx2 + bcx + bd.

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

x4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2х + 2)(х2 + 2х + 3).

(5)

Поскольку квадратные трехчлены х2х + 2 и х2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

  1. Найдите целые корни многочлена:

1) х3 – 5х + 4;

2) 2x3 + x2 – 13x + 6;

3) 5х3 + 18х2 – 10х – 8;

4) 4х4 – 11х2 + 9х – 2.

  1. Найдите рациональные корни уравнения:

1) х3 – 3х2 + 2 = 0;

2) 2х3 – 5х2х + 1 = 0;

3) 3х4 + 5х3х2 – 5х – 2 = 0;

4) 3х4 – 8х3 – 2х2 + 7х – 2 = 0.

  1. Разложите многочлен на множители:

1) 2х3х2 – 5х – 2;

2) х3 + 9х2 + 23х +15;

3) х4 – 2х3 + 2х – 1;

4) х4 – 2х3 – 24х2 + 50х – 25.

  1. Найдите действительные корни уравнения:

1) х3 + х2 – 4х + 2 = 0;

2) х3 – 7х – 6 = 0;

3) 2х4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0;

4) 2х3 – 5х2 + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

1) х4 + х3 – 5х2 + 13х – 6;

2) х4 – 4х3 – 20х2 + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х2 + + с)2 – (+ n)2: :

1) х4+ 4х – 1;

2) х4 – 4х3 – 1;

3) х4 + 4а3х а4.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

 

  1. Область определения функции y = f (x) ¾ отрезок [– 2; 1]. Найдите об­ласть определения функции:

  1. Постройте график функции:

  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

4 (МТУСИ). Решите уравнение:

5 (МЭСИ). Решите систему уравнений:

  1. Решите неравенство:

  1. Докажите неравенство:

8 (СТАНКИН). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение  имеет точно три корня.

9 (МГАТХТ). Найдите все значения параметра а, при которых система урав­нений  не имеет решений.

10 (МГУ, ИСАиА). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений  имеет единственное решение.

11 (МИСиС). При каких значениях параметра а неравенство 

      выполняется для всех отрицательных значений х?

12 (МГУ, мех.-мат. ф-т). При каких значениях параметра а уравнение 

       имеет точно три различных корня?

  1. При каких значениях параметра а уравнение  име­ет три действительных корня, которые образуют геометрическую про­грессию?

Решите задачи (14–25) на составление уравнений или неравенств и их систем.

14 (МГТУ). Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 детали. Так как каждый день он изготавливал на 2 детали меньше плана, то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен был изготовлять рабочий по плану?

15 (МГУ, хим. ф-т). Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали пер­вое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

16 (РЭА). Производительность первого станка на 25 % больше производи­тельности второго станка. Второй станок сделал деталей на 4 % больше, чем первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей работы, больше времени первого станка?

17 (ГФА). Первая из труб наполняет бассейн водой в два раза быстрее, чем другая. Если половину бассейна наполнить только из первой трубы, а оставшуюся часть — только из второй, то для наполнения бассейна потребуется 6 час. За сколько часов можно наполнить бассейн только из первой трубы?

18 (МГУПБ). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, и встреча­ются через час. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же ско­ростью, и первый прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость первого велосипедиста.

19 (МГУПБ). В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вер­нулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой скоростью судно шло по течению?

20 (ПГУ). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и полу­чили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

21 (ВШЭ). Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Из­вестно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

22 (МАИ). Найти такое двузначное число, в котором число его единиц на два больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

23 (ЛТА). Около дома посажены березы и липы, причем общее их количе­ство более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количе­ство берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько берез и сколько лип было посажено?

24 (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

25 (МГУ, эк. ф-т). В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1 руб. 50 коп., роза — 2 руб. На покупку гвоздик и роз можно затратить не более 30 руб. 50 коп. При этом число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возмож­ное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно меньше. Сколько гвоздик и сколько роз будет куплено при ука­занных условиях?