ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА

• 17. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Таблица 34

1. Понятие обратной функции

Если функция y = f (х) принимает каждое свое значение в единствен-
ной точке ее области определения, то можно задать функцию y = g (х),
которая называется обратной к функции y = f (х):f

для каждого a е D (f), если f (a) = b, то g (b) = a

E (f) = D (g); D (f) = E (g)

Функции f (x) и g (x) взаимно обратные

2. Свойства обратной функции

• Графики прямой и обратной
  функций симметричны относи-
  тельно прямой y = х.
• Если функция f (х) возрастает
  (убывает) на некотором проме-
  жутке, то она имеет обратную
  функцию на этом промежутке,
  которая возрастает, если f (х)
  возрастает, и убывает, если f (х)
  убывает.

 

• 17. Обратная функция 

3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y = f (x)
Алгоритм	Пример
1.             Выяснить, будет ли функция у = f (я) обратимой на всей обла­сти определения: для этого доста­точно выяснить, имеет ли уравне­ние y = f (x) единственный корень относительно переменной x. Если нет, то попытаться выде­лить промежуток, где существу­ет обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция y = f (x) возрастает или убывает). 2.             Из равенства y = f (я) выразить х через у. 3.             В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргу­мент обозначить через х, а функ­цию — через у.	Найдите функцию, обратную к функции y = 2x + 4. ► Из равенства y = 2x + 4 можно однозначно выразить x через y: 1 о x = — у - 2. 2У Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозна­чен через у, а функция — через x. Обозначим в полученной формуле аргумент через x, а функцию — че­рез y. Получаем функцию у = 1 x - 2, об­ратную к функции y = 2x + 4. <1

Объяснение и обоснование

1. Понятие обратной функции. Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью v₀, выражается формулой S = v₀t. Из этой формулы можно найти обратную зави­симость — времени от пройденного пути t = ^S. Функцию t (S) = ^S называ­ло ^vo

ют обратной к функции S (t) = v₀t. Отметим, что в рассмотренном примере каждому значению t (t l 0) соответствует единственное значение S и, наобо­рот, каждому значению S (S 1 0) соответствует единственное значение t.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде. Пусть функция f (x) принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тог­да для каждого числа у₀ = b (из области значений функции f (x)) существует единственное значение х₀ = a, такое, что f (a) = b. Рассмотрим новую функ­цию g (x), которая каждому числу b из области значений функции f (x) ста­вит в соответствие число a, то есть g (b) = a для каждого числа b из области значений функции f (x). В этом случае функция g (x) называется обратной к функции f (x), а функция f (x) — обратной к функции g (x). Поэтому гово­рят, что функции f (x) и g (x) взаимно обратные.

222 Раздел 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Из определения обратной функции вытекает, что область значений пря­мой функции E (f) является областью определения обратной функции D (g), а область определения прямой функции D (f) является областью значений обратной функции E (g).

То есть:

E (f) = D (g), D (f) = E (g).

2. Свойства обратной функции.

■

           

Свойство 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой у = х.

Ш Учитывая приведенную выше процедуру построения функции, об­ратной к функции у = f (x), имеем: если f (a) = b, то по определению графика функции точка M с координатами (a; b) принадлежит гра­фику функции y= f (x). Аналогично, поскольку g (b) = a, то точка Mj с координатами (b; a) принадлежит графику функции y = g (x). Точки M (a; b) и M₁ (b; a) расположены на координатной плоскости симме­трично относительно прямой y = x (рис. 101). Действительно, прямая

y = x является осью симметрии системы коор­динат. Таким образом, при симметрии относи­тельно этой прямой ось Ox отображается на ось Oy, а ось Oy — на ось Ox. Тогда (например, при a > 0 и b > 0) прямоугольник OAMD со сторонами OA = a и OD = b на осях координат отображается на прямоугольник OA₁M₁D₁ со сторонами на осях координат OA₁ = OA = a и OD₁ = OD = b. Следова­тельно, при симметрии относительно прямой y = x точка M (a; b) отображается в точку M₁ (b; a) (а точка M₁ — в точку M). Таким образом, при сим­метрии относительно прямой y = x любая точка M (a; b), принадлежащая графику функции y = f (x), имеет соответствующую точку M₁ (b; a),

принадлежащую графику функции y = g (x), а любая точка M₁ (b; a), которая принадлежит графику функции y = g (x), имеет соответствую­щую точку M (a; b), принадлежащую графику функции y = f (x). То есть графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. О

 

 

Свойство 2. Если функция f (х) возрастает (убывает) на некото-
ром множестве D, а Е - область значений этой функции, то она
имеет обратную функцию g (х), которая определена и возрастает
на Е, если f (х) возрастает (и убывает на Е, если f (х) убывает).

О         Действительно, если функция f (x) возрастает (убывает) на некотором множестве D, а Е - область значений этой функции, то по свойству воз­растающей (убывающей) функции каждое свое значение она принимает в единственной точке из множества D (с. 21). Поэтому функция f (x) имеет

 

• 17. Обратная функция 223

обратную функцию g (x) с областью определения Е. Обосновать, что функ-
ция g (x) возрастает, если f (x) возрастает, можно методом от противного.
Пусть числа а₁ и а₂ входят в область определения функции f (x) и

                                                       а2 > а1.                                  (1)

Обозначим    f (а₁)    =          b₁, f (а₂) = b₂. Если функция            f (x)     возрастает,     то

f (а2) > f (а₁), то есть b₂         > b₁. По определению обратной    функции        g (x)    числа

b₁ и b₂ входят в ее область определения и

                                                   g (b1) = а1, g (b2) = а2.             (2)

Если допустить, что функция g (x) не является возрастающей, то из неравенства b₂ > b₁ не может вытекать неравенство g (b₂) > g (b₁) (иначе функция g (x) будет возрастающей), таким образом, для некоторых b₂ и b₁ может выполняться неравенство g (b₂) < g (b₁). Но тогда по формулам (2) получаем    a₂ < a₁, что противоречит условию (1). Таким образом, наше предположение  неверно, и функция g (x) возрастает, если функция f (x) возрастает.

Аналогично обосновывается, что в случае, когда функция f (x) убывает,
обратная к ней функция g (x) тоже убывает. О

3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y = f (х). Из определения обратной функции следует, что для получения
   обратной зависимости необходимо знать, как значение x выражается через
   значение y. Это можно сделать, решив уравнение y = f (x) относительно переменной x. Если заданная функция обратима, то уравнение будет иметь
   единственное решение для всех y из области значений функции f (x), и мы
   получим формулу x = g (y), которая задает обратную функцию. Но в этой
   формуле аргумент обозначен через y, а функция — через x. Если поменять обозначения на традиционные, то получим запись функции, обратной
   к функции y = f (x).

Эти рассуждения вместе с соответствующим алгоритмом приведены в таблице 34 и реализованы в решении следующих задач.

Примеры решения задач

Задача 1

 

 

 

 

Найдите функцию, обратную к функции у = х²

Решение

• Из равенства у = х² при у 1 0 получаем x = ±y[y. Учитывая, что по условию х 1 0, имеем x = ijy.

Обозначим аргумент через х, а функцию — через у и получим, что функцией, обратной к функции у = х², которая задана только при х 1 0, будет функция y = *Jx. <

Задача 3 Найдите функцию, обратную к функции у = х² при х 1 0.

 

Вопросы для контроля

1. При каком условии для заданной функции y = f (x) можно построить об­ратную функцию?
2. Объясните построение графика обратной функции на примере функции y = f (x), которая задана таблицей:

x	0	2	4	6
f (x)	1	3	5	7

Задайте обратную функцию y = g (x) с помощью таблицы:

x
g (x)

3. Как расположены графики прямой и обратной функций, если они по­строены в одной системе координат? Проиллюстрируйте соответствую­щее свойство графиков на примере.

4*. Обоснуйте взаимное расположение графиков прямой и обратной функ­ций.

1. Существует ли обратная функция к функции y = x², где x m 0? Объяс­ните ответ, опираясь на соответствующие свойства обратной функ­ции. Если обратная функция существует, то задайте ее формулой вида y = g (x).

Упражнения

1. Запишите формулу, которая задает функцию y = g (x), обратную к за¬данной. Укажите область определения и множество значений функции g (x):

1°) y = 3x - 6;      2°)  y=-3x - 6;        3)y=2;    4) y = x²;      5) y = 4X

2. Найдите функцию, обратную к данной на заданном промежутке, и по­стройте на одном рисунке графики данной функции и функции, обратной к данной:

• y = 4x² при x l 0; 2)         y          =         ^-x² при x m 0;
• y = (x - 2)² при x l 2; 4)         y          =         x² - 2 при x m