Задача 5 Решите уравнение 

Решение

Комментарий

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x:  Это уравнение может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательный: Тогда    Но   не может быть больше чем 1. Таким образом,  то есть  или   Подставляя эти значения в данное уравнение, получаем, что оно равносильно совокупности систем:  Из второго уравнения первой системы имеем х = 1, что удовлетворяет и первому уравнению системы. Таким образом, х = 1 — решение первой системы, а значит, и решение данного уравнения. Аналогично получаем х = –1 — решение второй системы, а значит, и решение данного уравнения. Ответ: 1; –1.

Есть несколько подходов к реше­нию данного уравнения. 1) Рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно пере­менной x и учесть, что оно может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неот­рицательным (см. решение). 2) Если в левой части уравнения выделить полный квадрат , то получим уравнение:   Учтем, что всегда  и  А сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Также можно последнее уравне­ние записать в таком виде: и оценить левую и правую части этого уравнения.

 

При решении систем тригонометрических уравнений не всегда удается выполнять только равносильные преобразования уравнений системы, ино­гда приходится пользоваться уравнениями-следствиями. В таких случаях могут возникать посторонние решения, поэтому полученные решения не­обходимо проверять. Причем проверять можно как значения переменных, полученные в конце решения, так и значения тригонометрических функ­ций, полученные в ходе решения. Если все тригонометрические функции, которые входят в запись системы, по каждой из переменных имеют общий период, то достаточно выполнить проверку для всех значений переменных из одного периода (для каждой переменной).

Задача 6 Решите систему уравнений

Комментарий

Если из первого уравнения системы выразить sin x, а из второго — cos x, то можно возвести обе части каждого уравнения в квадрат и после почленного сложения полученных уравнений использовать тождество . В результате получим уравнение с одной переменной y, которое легко при­водится к одной тригонометрической функции.

Но при возведении обеих частей уравнения в квадрат получаем уравнение-следствие. Таким образом, среди полученных решений могут быть и посто­ронние решения для данной системы, которые придется отсеивать проверкой.

Для проверки учитываем, что все функции относительно переменной x, которые входят в запись системы (то есть sin x и cos x), имеют общий период 2π. Аналогично все функции относительно переменной y (sin у и cos у) тоже имеют общий период 2π. Следовательно, проверку решений достаточ­но выполнить для всех пар чисел (х; у), где x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 2π] (можно взять и другие промежутки длиной 2π). Полезно также учесть, что все ре­шения, полученные вследствие подстановки в одно из уравнений системы, автоматически удовлетворяют этому уравнению, а значит, проверку этих решений достаточно выполнить только для второго уравнения системы.

Для каждой переменной все полученные решения необходимо повторить через период.

Решение

Заданная система равносильна системе 

Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат и почленно сложим полученные уравнения. Получаем уравнение-следствие

Подставляя полученные значения в уравнение (2), получаем

                  

                   

Относительно каждой из переменных x и y все функции, которые входят в запись данной системы, имеют период 2π, поэтому проверку достаточно выполнить для всех пар чисел (х; у), где x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 2π].

Для системы (3) это пары чисел: 

а для системы (4) это пары чисел:

Решениями заданной системы являются только пары чисел:

 

Ответ получим, повторяя приведенные решения через период (для каж­дой переменной).

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функция­ми полезно помнить, что при

                                         

и для любых значений a

                                         

Также при решении уравнений с обратными тригонометрическими функ­циями часто бывает удобно от обеих частей уравнения взять какую-нибудь тригонометрическую функцию и воспользоваться определением соответ­ствующих обратных тригонометрических функций.

 

Задача 7 Решите уравнение 

Комментарий

Если взять от обеих частей данного уравнения функцию синус, то полу­чим уравнение-следствие: если числа равны, то и синусы будут равны, но если синусы двух чисел равны, то это еще не значит, что числа обязательно будут равны. То есть верное равенство будет сохраняться при прямых преоб­разованиях, но не обязательно будет сохраняться при обратных преобразо­ваниях. Таким образом, в конце решения необходимо выполнить проверку полученных корней.

Если обозначить , то по определению арксинуса  и  Для нахождения cos α учитываем, что при  значение  таким образом, 

Проверяя полученные решения, в тех случаях, когда найденные числа не являются корнями данного уравнения, иногда удобно сравнить полученные ^{решения} с табличными значениями. Например,  больше, чем  (отметим, что для строгого доказательства того, что   достаточно срав­нить числа   а для этого достаточно сравнить числа 24²= 576 и  13²⋅2 = 338 и воспользоваться возрастанием функции  на всей обла­сти определения). Учитывая возрастание функции y = arcsin t, получаем, что

                    

Решение

Если обозначить arcsin x = α, где  , и , где  то данное уравнение будет иметь вид                                                                         

                                          2α=β.                                          (1)

Возьмем от обеих частей уравнения (1) функцию синус и получим

                                   sin 2α = sin β, 

                               2 sin α cos α = sin β.                                (2)

По определению арксинуса   Учитывая, что  ,  получаем 

Тогда уравнение (2) будет иметь вид 

Отсюда

Таким образом, x = 0 или

Проверка.

1) x = 0 — корень 

2)  — посторонние корни.

Ответ: 0.

Замечание. Для решения уравнения  можно было применить не только уравнения-следствия, но и равносильные преобразова­ния уравнений. В этом случае необходимо учесть ОДЗ данного уравнения:

                                                                                  (3)

а также то, что для всех корней уравнения его правая часть  на­ходится в промежутке  (по определению арксинуса). Таким образом, и левая часть уравнения должна находиться в этом же промежутке. Значит, для всех корней данного уравнения выполняется условие: ,  то есть

                                                                                      (4)

На промежутке  функция sin t является возрастающей, тогда при выполнении условия (4) (и конечно, на ОДЗ (3)), если от обеих частей данно­го уравнения взять синус, то получим равносильное ему уравнение (то есть данное уравнение равносильно уравнению (2) при условиях (3) и (4)). Выпол­няя рассуждения и преобразования, приведенные выше в решении задачи 7, получаем x = 0 или  . Все найденные решения принадлежат ОДЗ (удо­влетворяют условиям (3)), но условию (4) удовлетворяет только х = 0. Таким образом, корнем данного уравнения является только x = 0.

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно решить уравнение  с помощью оцен­ки левой и правой частей уравнения. Решите это уравнение.
2. Объясните, как можно решать тригонометрические уравнения, в запись которых входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. Приведите пример такого урав­нения.
3. Приведите пример тригонометрической формулы, применение которой может привести к сужению ОДЗ данного уравнения и к потере его кор­ней. Объясните, почему происходит сужение ОДЗ. Как необходимо при­менять такие формулы, чтобы не потерять корни данного уравнения? Объясните это на примере уравнения