Таблица 1

1. Определение тригонометрических функций
Через единичную окружность
(R = 1)
Через произвольную окружность
(R — радиус окружности)
Через прямоугольный треугольник
(для острых углов)

sin α = y —
ордината точки Pα
cos α = x —
абсцисса точки Pα

tg α = y/x = sin α / cos α

ctg α = x/y = cos α / sin α

 

sin α = y / R

cos α = x / R

tg α = y / x

ctg α = x / y

 

sin α = a / c

cos α = b / c

tg α = a / b

ctg α = b / a

2. Тригонометрические функции числового аргумента

sin (числа α) = sin (угла в α радиан)

cos (числа α) = cos (угла в α радиан)

tg (числа α) = tg (угла в α радиан)

ctg (числа α) = ctg (угла в α радиан)

3. Линии тангенсов и котангенсов

tg α = yA
ордината соответствующей точки линии тангенсов

СВ — линия котангенсов (СВ || Oх)
ctg α = xB
абсцисса соответствующей точки линии котангенсов

Объяснение и обоснование

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их.

   Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c (рис. 61).

   Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c.

   Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего: tg α = a / b.

   Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего: ctg α = b / a.

   В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.

   Для сокращения формулировок мы будем использовать термин «тригонометрическая функция угла», понимая, что рассматривается «тригонометрическая функция величины угла» (при этом величина угла может быть выражена как в радианах, так и в градусах).

Рис. 61   

   Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения тригонометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рассматривать любые углы α от –∞ до +∞).

   Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P0 (рис. 62). Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP0 около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP0 займет положение OPα (говорят, что при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα, а точка P0 переходит в точку Pα). Напомним, что при α > 0 радиус OP0 поворачивается против часовой стрелки, а при α < 0 — по часовой стрелке.

   Пусть точка Pα имеет координаты (x; y). Тогда:

     синусом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) окружности к ее радиусу: sin α = y / R;

   косинусом угла α называется отношение абсциссы точки Pα (x; y) окружности к ее радиусу: cos α = x / R;

   тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) окружности к ее абсциссе: tg α = y / x (конечно, при x ≠ 0);

   котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Pα (x; y) окружности к ее ординате: ctg α = x / y (при y ≠ 0).

     Как и для тригонометрических функций острых углов, значения sin α, cos α, tg α, ctg α зависят только от величины угла α и не зависят от радиуса R*. Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определения тригонометрических функций.

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

   Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.

     Пусть при повороте на угол α точка P0 (1; 0) переходит в точку Pα (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα) (рис. 63).

Синусом угла α называется ордината точки Pα (x; y) единичной окружности:

sin α = y.

Косинусом угла α называется абсцисса точки Pα (x; y) единичной окружности:

cos α = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.

 

Рис. 63

   Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).

Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.

Пример

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.

♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP0 переходит в радиус OP2π/3 (а точка P0 переходит в точку P2π/3). Координаты точки P2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = - OA=−1/2; y = AP2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = - √3; ctg 2π/3 = - 1/√3.◊

   Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).

   Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

   синус числа α — это синус угла в α радиан;
   косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).

Таблица 19

α градусы 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
радианы 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
sin α 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 -1 0
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1
tg α 0 √3/3 1 √3 - 0 - 0
ctg α - √3 1 √3/3 0 - 0 -

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

♦ Проведем через точку P0 единичной окружности прямую AP0, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка Pα не лежит на оси Oy и прямая OPα пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OPα проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку Pα с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки Pα удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OPα имеет уравнение

y = (tg α) x. Прямая AP0 имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OPα подставить x = 1. Получаем yA = tg α. Таким образом,

тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊

     Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.

     Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка Pα не лежит на оси Ox), то прямая OPα пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (xB; 1).

   Аналогично вышеизложенному обосновывается, что xB = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.

3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P0 (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка Pα в заданиях 3–6?
1) α = 3π;                      2) α = –4π;                      3) α=7π/6;

4) α=−3π/4;                   5) α=4π/3;                      6) α=7π/4.

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π;                      2) α = –4π;                      3) α=−π/2;

4) α=5π/2;                     5*) α=−5π/6;                  6*) α=3π/4.

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5;                     2) α=−π/6;                      3) α=5π/6;

4) α=−2π/3;                  5) α=π/10.

4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3;                    2) α=−3π/4;                     3) α=11π/6;

4) α=−7π/6;                  5) α=9π/4.

5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3;                  2) α=3π/4;                       3) α=−11π/6;

4) α=7π/6;                    5) α=−9π/4.