Причина

При каких преобразованиях это может происходить

Пример неправильного (или неполного) решения

1. Появление посторонних корней

в) применение к обеим ча­стям урав­нения функ­ции, которая не является возрастаю­щей или убы­вающей.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень или применение к обеим частям уравнения тригонометрических функций (см. с. 272)

х — 1 = 2х + 1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

(х — 1)² = (2х + 1)². Получим 3х² + 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = —2

2. Потеря корней

Явное или неяв­ное сужение ОДЗ заданного урав­нения, в частно­сти выполнение преобразований, в ходе которых происходит не­явное деление на нуль

1. Деление обеих ча­стей уравнения на выражение с пе­ременной

_х² _{= х.}

Поделив обе части уравнения на х, получим

х = 1

2. Сложение, вычи­тание, умноже­ние или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ задан­ного уравнения

х² = 1.

Если к обеим частям уравнения прибавить , то получим уравнение

x² + x = 1 + x, у которого только один корень х = 1

Где ошибка

Как получить правильное (или полное) решение

Пример правильного (или полного) решения

при решении уравнения

х₁ = 0 не является корнем заданного уравнения

Выполнить про­верку подстановкой корней в заданное уравнение

В данном уравнении не было не­обходимости возводить в квад­рат.

х — 1 = 2х + 1.

►х — 2х = 1 + 1, х = —2.

Ответ: —2. <

Если применить возведение в квадрат, то проверка показы­вает, что х₂ = —2 — корень, a х₁ = 0 — посторонний корень

при решении уравнения

Потеряли корень х = 0, поскольку после деления на х фактически полу­чили уравнение 2

ОДЗ которого: х( Ф)= 0, то есть сузи­ли ОДЗ заданного уравнения.

Те значения, на которые сузилась ОДЗ, необходимо рассмотреть от­дельно

► 1. При х = 0 получаем 0² = 0 — верное равенство, та­ким образом, х = 0 — корень.

2. При х Ф 0 получаем

2 х = 1

Ответ. 0; 1. 

(Конечно, удобнее решать так: x² - x = 0,

х (х — 1) = 0, х = 0 или х = 1.)

Потеряли корень х = —1, поскольку ОДЗ данного урав­нения: х — любое число, а x суще­ствует только при х 1 0.

В данном уравнении не было необходимости прибавлять к обеим частям -\/x.

► х² = 1, х = ±1.

Ответ: ±1. 

(Если бы пришлось прибавить к обеим частям yfx, то при x < 0 данное уравнение необходимо рассмотреть отдельно, и тогда получим еще и корень х = —1.)

Объяснение и обоснование

1.   Конечная ОДЗ. Напомним, что в случае, когда дано уравнение f (x) = g (x), общая область определения для функций f (x) и g (x) называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень за­данного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x). Таким образом, каждый корень

уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет

в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения.

Например, если дано уравнение л/x - 2 + V4 - 2x = 3x - 6, то его ОДЗ можно

[x - 210                                                                      Jx 12,

задать с помощью системы                            Решая эту систему, получаем -

{4 - 2x 10.                                                                  {x < 2,

то есть х = 2. Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одно­го значения х = 2. Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то достаточно подставить это значение переменной в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (0 = 0). Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме х = 2.

Рассмотренный пример позволяет выделить о р и е н т и р для решения аналогичных уравнений:

Если f (x) > а, то равенство f (x) = g (x) не может выполняться, потому что g (x) < а, то есть при f (x) > а данное уравнение корней не имеет. Остает­ся только случай f (x) = a, но, учитывая необходимость выполнения ра­венства f (x) = g (x), имеем, что тогда и g (x) = а. Таким образом, мы обо­сновали, что выполнение равенства f (x) = g (x) (при условии f (x) 1 а и g (x) < а) гарантирует одновременное выполнение равенств f (x) = а и g (x) = а (и наоборот, если одновременно выполняются равенства f (x) = а и g (x) = а, то выполняется и равенство f (x) = g (x)). Как было показано в п. 3.1, это и

Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 8.

Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения f₁ (x) + f₂ (x) + ... + f_n (x) = 0, в котором все функции- слагаемые неотрицательны (f₁ (x) 1 0; f₂ (x) 1 0; ...; f_n (x) 1 0).

•     Если предположить, что f₁ (x) > 0, то сумма всех функций, стоящих в ле­вой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма f₂ (x) + ... + f_n (x) будет отрицательной. Но это невозможно, по­скольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при f₁ (x) > 0 данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единствен­ная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство f₁ (x) + f₂ (x) + ... + f_n (x) = 0 обязательно будет вы­полняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функ­ций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Например, чтобы решить уравнение x⁴ + | x - 1 | = 2x² - 1, достаточ­но перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде (x² - 1)² + | x - 1 | = 0 и учесть, что функции (x² - 1)² и | x - 1 | неотри­цательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем х = 1, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень х = 1.

3. Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция при­нимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения. Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теор ем а 1. Если в уравнении f (я) = а функция f (я) возрастает (убы­вает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 39. Прямая у = а пересекает график возрастающей на промежутке [а; в] функ­ции у = f (x) только в одной точке. Это и означает, что уравнение f (x) = а не может иметь больше одного корня на промежутке [а; в]. Докажем это утверждение аналитически.

9 Если на промежутке [а; в] уравнение имеет корень x₀, то f (x₀) = а. Дру­гих корней быть не может, поскольку для возрастающей функции f (x) при x > x₀ получаем неравенство f (x) > f (x₀) = а, а при x < x₀ — нера­венство f (x) < f (x₀) = а. Таким образом, при x Ф x₀ f (x) Ф а. Аналогично и для убывающей функции при x Ф x₀ получаем f (x) Ф а.

Теор ема 2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) возрастает на некотором промежутке, а функция g (x) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 40.

в Если на промежутке [а; в] уравнение имеет корень x₀, то f (x₀) = g (x₀) = а. Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции f (x) и убывающей функции g (x) при x > x₀ имеем f (x) > а, a g (x) < а, таким образом, f (x) Ф g (x). Аналогично и при x < x₀ f (x) Ф g (x).

Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других кор­ней в заданном промежутке уравнение не имеет.

Например, чтобы решить уравнение x³ + x = 10, достаточно заметить, что функция f (x) = x³ + x является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что x = 2 — корень* этого уравнения (2³ + 2 = 10; 10 = 10). Таким образом, данное уравнение f (x) = 10 имеет единственный корень x = 2.

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них от­дельно.

Решим с помощью теоремы 2 уравнение x + x = —.

►   Сначала следует учесть его ОДЗ: x Ф 0 и вспомнить, что функция у = ² на

всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (с. 28), но она убывает на каждом из промежутков (—^то; 0) и (0; +“). Поэто­му рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1)   При x > 0 данное уравнение имеет корень x = 1 (1 +1 = -,2 = 2).

Функция f (x) = x³ + x возрастает при x > 0 (как было показано выше, она

₂

возрастает на множестве R), а функция g (x) = — убывает на промежутке

x

x > 0. Таким образом, данное уравнение f (x) = g (x) при x > 0 имеет един­ственный корень x = 1.

2)   При x < 0 данное уравнение имеет корень x = —1 ((-1)³ + (-1) = -2-, - 2 = -2).

Функция f (x) = x³ + x возрастает при x < 0, а функция g (x) = убывает

x

на этом промежутке. Поэтому данное уравнение f (x) = g (x) при x < 0 имеет единственный корень x = —1.

В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из про­межутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и —1. ^

Примеры решения задач

Задача 1

Решите уравнение x⁴ + —г = 2 - (x -1)².

Решение

►   ОДЗ: х Ф 0. На ОДЗ x⁴ > 0. Тогда функция f (x) = x⁴ + -¹ 12 (как сум-

_x4

ма двух взаимно обратных поло­жительных чисел), а функция g (x) = 2 — (x — 1)² < 2. Таким обра­зом, данное уравнение равносильно

x⁴ +       = 2,

системе - x                               Из    второго

1      - (x -1)² = 2. уравнения системы получаем x = 1, что удовлетворяет и первому урав­нению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение х = 1.

Ответ: 1. ^

Комментарий

Если раскрыть скобки и приве­сти обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения при­дется решать полное уравнение вось­мой степени, все корни которого мы не сможем найти.

Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в ле­вой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ (х Ф 0) x⁴ > 0, то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных по­ложительных чисел, которая всегда больше или равна 2.

Задача 2 Решите систему уравнений

Рассмотрим функцию

Решение

Jx 10,
[у 10.

f (t) = Vt +1³. На своей области опреде­ления (t 1 0) эта функция является возрастающей (как сумма двух воз­растающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид f (x) = f (у), равносильно уравнению x = у. Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна

Jx = у, системе -

[x² + 3у² = 36.

Подставляя x = у во второе уравне­ние системы, имеем 4у² = 36, у² = 9, у = ±3. Учитывая, что на ОДЗ у 1 0, получаем у = 3. Тогда x = у = 3. Ответ: (3; 3). <1

\4x-

-x² + 3у² = 36.

Комментарий

Иногда свойства функций уда­ется применить при решении си­стем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях пер­вого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является воз­растающей (как сумма двух воз­растающих функций), то равен­ство f (x) = f (у) для возрастающей функции возможно тогда и толь­ко тогда, когда х = у, поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении ар­гумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)

Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, мо­жет быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его мож­но сформулировать так: если функция f (я) является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

f (а) = f (в) ^ а = в.

Вопросы для контроля

1.   Объясните на примерах, как можно использовать свойства функций при решении уравнений.

2*. Обоснуйте правильность ориентиров по решению уравнений с использо­ванием свойств функций, приведенных в таблице 8 (с. 60).