Причина |
При каких преобразованиях это может происходить |
Пример неправильного (или неполного) решения |
|
1. Появление посторонних корней |
|||
в) применение к обеим частям уравнения функции, которая не является возрастающей или убывающей. |
Возведение обеих частей уравнения в четную степень или применение к обеим частям уравнения тригонометрических функций (см. с. 272) |
х — 1 = 2х + 1. Возведем обе части уравнения в квадрат: (х — 1)2 = (2х + 1)2. Получим 3х2 + 6х = 0, х1 = 0, х2 = —2 |
|
2. Потеря корней |
|||
Явное или неявное сужение ОДЗ заданного уравнения, в частности выполнение преобразований, в ходе которых происходит неявное деление на нуль |
1. Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной |
х2 = х. Поделив обе части уравнения на х, получим х = 1 |
|
2. Сложение, вычитание, умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ заданного уравнения |
х2 = 1. Если к обеим частям уравнения прибавить , то получим уравнение x2 + x = 1 + x, у которого только один корень х = 1 |
|
Где ошибка |
Как получить правильное (или полное) решение |
Пример правильного (или полного) решения |
|
при решении уравнения |
|||
х1 = 0 не является корнем заданного уравнения |
Выполнить проверку подстановкой корней в заданное уравнение |
В данном уравнении не было необходимости возводить в квадрат. х — 1 = 2х + 1. ►х — 2х = 1 + 1, х = —2. Ответ: —2. < Если применить возведение в квадрат, то проверка показывает, что х2 = —2 — корень, a х1 = 0 — посторонний корень |
|
при решении уравнения |
|||
Потеряли корень х = 0, поскольку после деления на х фактически получили уравнение 2 ОДЗ которого: х( Ф)= 0, то есть сузили ОДЗ заданного уравнения. |
Те значения, на которые сузилась ОДЗ, необходимо рассмотреть отдельно |
► 1. При х = 0 получаем 02 = 0 — верное равенство, таким образом, х = 0 — корень. 2. При х Ф 0 получаем 2 х = 1 Ответ. 0; 1. (Конечно, удобнее решать так: x2 - x = 0, х (х — 1) = 0, х = 0 или х = 1.) |
|
Потеряли корень х = —1, поскольку ОДЗ данного уравнения: х — любое число, а x существует только при х 1 0. |
В данном уравнении не было необходимости прибавлять к обеим частям -\/x. ► х2 = 1, х = ±1. Ответ: ±1. (Если бы пришлось прибавить к обеим частям yfx, то при x < 0 данное уравнение необходимо рассмотреть отдельно, и тогда получим еще и корень х = —1.) |
|
Объяснение и обоснование 1. Конечная ОДЗ. Напомним, что в случае, когда дано уравнение f (x) = g (x), общая область определения для функций f (x) и g (x) называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x). Таким образом, каждый корень |
уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения. Например, если дано уравнение л/x - 2 + V4 - 2x = 3x - 6, то его ОДЗ можно [x - 210 Jx 12, задать с помощью системы Решая эту систему, получаем - {4 - 2x 10. {x < 2, то есть х = 2. Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения х = 2. Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то достаточно подставить это значение переменной в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (0 = 0). Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме х = 2. Рассмотренный пример позволяет выделить о р и е н т и р для решения аналогичных уравнений: |
Если f (x) > а, то равенство f (x) = g (x) не может выполняться, потому что g (x) < а, то есть при f (x) > а данное уравнение корней не имеет. Остается только случай f (x) = a, но, учитывая необходимость выполнения равенства f (x) = g (x), имеем, что тогда и g (x) = а. Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства f (x) = g (x) (при условии f (x) 1 а и g (x) < а) гарантирует одновременное выполнение равенств f (x) = а и g (x) = а (и наоборот, если одновременно выполняются равенства f (x) = а и g (x) = а, то выполняется и равенство f (x) = g (x)). Как было показано в п. 3.1, это и |
Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 8. Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0, в котором все функции- слагаемые неотрицательны (f1 (x) 1 0; f2 (x) 1 0; ...; fn (x) 1 0). • Если предположить, что f1 (x) > 0, то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма f2 (x) + ... + fn (x) будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при f1 (x) > 0 данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0 обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Например, чтобы решить уравнение x4 + | x - 1 | = 2x2 - 1, достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде (x2 - 1)2 + | x - 1 | = 0 и учесть, что функции (x2 - 1)2 и | x - 1 | неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе |
Из второго уравнения получаем х = 1, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень х = 1. 3. Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения. Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения. Теор ем а 1. Если в уравнении f (я) = а функция f (я) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке. Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 39. Прямая у = а пересекает график возрастающей на промежутке [а; в] функции у = f (x) только в одной точке. Это и означает, что уравнение f (x) = а не может иметь больше одного корня на промежутке [а; в]. Докажем это утверждение аналитически. |
9 Если на промежутке [а; в] уравнение имеет корень x0, то f (x0) = а. Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции f (x) при x > x0 получаем неравенство f (x) > f (x0) = а, а при x < x0 — неравенство f (x) < f (x0) = а. Таким образом, при x Ф x0 f (x) Ф а. Аналогично и для убывающей функции при x Ф x0 получаем f (x) Ф а. Теор ема 2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) возрастает на некотором промежутке, а функция g (x) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке. Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 40. |
в Если на промежутке [а; в] уравнение имеет корень x0, то f (x0) = g (x0) = а. Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции f (x) и убывающей функции g (x) при x > x0 имеем f (x) > а, a g (x) < а, таким образом, f (x) Ф g (x). Аналогично и при x < x0 f (x) Ф g (x). Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет. Например, чтобы решить уравнение x3 + x = 10, достаточно заметить, что функция f (x) = x3 + x является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что x = 2 — корень* этого уравнения (23 + 2 = 10; 10 = 10). Таким образом, данное уравнение f (x) = 10 имеет единственный корень x = 2. Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно. |
Решим с помощью теоремы 2 уравнение x + x = —. |
► Сначала следует учесть его ОДЗ: x Ф 0 и вспомнить, что функция у = 2 на |
всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (с. 28), но она убывает на каждом из промежутков (—то; 0) и (0; +“). Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно. |
1) При x > 0 данное уравнение имеет корень x = 1 (1 +1 = -,2 = 2). Функция f (x) = x3 + x возрастает при x > 0 (как было показано выше, она 2 возрастает на множестве R), а функция g (x) = — убывает на промежутке x x > 0. Таким образом, данное уравнение f (x) = g (x) при x > 0 имеет единственный корень x = 1. 2) При x < 0 данное уравнение имеет корень x = —1 ((-1)3 + (-1) = -2-, - 2 = -2). Функция f (x) = x3 + x возрастает при x < 0, а функция g (x) = убывает x на этом промежутке. Поэтому данное уравнение f (x) = g (x) при x < 0 имеет единственный корень x = —1. В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и —1. ^ Примеры решения задач |
Задача 1 |
Решите уравнение x4 + —г = 2 - (x -1)2. |
Решение ► ОДЗ: х Ф 0. На ОДЗ x4 > 0. Тогда функция f (x) = x4 + -1 12 (как сум- x4 ма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция g (x) = 2 — (x — 1)2 < 2. Таким образом, данное уравнение равносильно x4 + = 2, системе - x Из второго 1 - (x -1)2 = 2. уравнения системы получаем x = 1, что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение х = 1. Ответ: 1. ^ |
Комментарий Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти. Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ (х Ф 0) x4 > 0, то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. |
Задача 2 Решите систему уравнений |
Рассмотрим функцию |
Решение Jx 10, f (t) = Vt +13. На своей области определения (t 1 0) эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид f (x) = f (у), равносильно уравнению x = у. Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна Jx = у, системе - [x2 + 3у2 = 36. Подставляя x = у во второе уравнение системы, имеем 4у2 = 36, у2 = 9, у = ±3. Учитывая, что на ОДЗ у 1 0, получаем у = 3. Тогда x = у = 3. Ответ: (3; 3). <1 |
\4x- -x2 + 3у2 = 36. Комментарий Иногда свойства функций удается применить при решении систем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство f (x) = f (у) для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда х = у, поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении аргумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.) |
Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция f (я) является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве f (а) = f (в) ^ а = в. Вопросы для контроля 1. Объясните на примерах, как можно использовать свойства функций при решении уравнений. 2*. Обоснуйте правильность ориентиров по решению уравнений с использованием свойств функций, приведенных в таблице 8 (с. 60). |