Параграф 2. Повторение и расширение сведений о функции.

---

Работу выполнил: Косярский А.А. студент группы 45.2

Пункт 2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций.

 

1. Понятие числовой функции

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу x
из множества D (области определения) ставится в соответствие единственное число y.
Записывается это соотвествие так: y=f(x)
Обозначения и термины
D(f) - область определения
E(f) - область значений
x - аргумент (независимая переменная)
y - функция (зависимая переменная)
f - функция
f(x0) - значение функции f в точке x0

2. График функции

 

Графиком функции f называется множество всех точек координатной плоскости
с координатами (x; f (x)), где первая координата x
«пробегает» всю область определения функции, а вторая координата
равна соответствующему значению функции f в точке x

 

3. Возрастающие и убывающие функции

 

Функция f(x) возрастающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) > f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

 

 

 

 

 

Функция f(x) убывающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) < f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

 

 

 

4. Чётные и нечётные функции

 

Функция f(x) чётная:
если f(-x) = f(x)
для любых x из области определения.
График чётной функции симметричен относительно Oy

 

 

Функция f(x) нечётная:
если f(-x) = -f(x)
для любых x из области определения.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат

 

 

Объяснение и обоснование

1. Понятие функции. С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебры.
Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если
каждому значению x соответствуе единственное значение y.
В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем пользоваться
следующим определением числовой функции.

 

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость,
при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие
единственное число y.

 

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим
произвольную функцию f. Число y, соответствующее числу x (на рисунке 9 это
показано стрелкой), называют значением функции f в точке x и обозначают f (x).

Область определения функции f - это множество тех значений, которые
может принимать аргумент x. Она обозначается D(f).

Область значений функции f - это множество, состоящее из всех чисел
f(x), где x принадлежит области определения. её обозначают E(f).

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет
дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной
формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта
формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой y = √x + 1, то её область
определения: x ≥ 0, то есть D(y) = [0;+∞), а область значений:
y ≥ 1, то есть E(y) = [1;+∞).

Функция может задаваться не только при помощи формул, но и сс помощью
таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 10
графически задана функция y = f(x) с областью определения
D(f) = [-1;3] и множеством значений E(f) = [1;4]

2. График функции. Напомним, что
графиком функции y = f(x) называется множество точек
координатной плоскости с координатами (x;f(x)), где первая координата
x "пробегает" всю область определения функции, а вторая координата -
это соответствующее значение функции f точке x.

 

 

На рисунках к пункту 4 табицы 2 приведены графики функций y = x²
и y = 1/x, а на рисунке 11 - график функции y = |x|.

 

Приведём также график функции y = [x], где [x] - обозначение
целой части числа x, то есть наибольшего целого числа,
не превосходящего x (рис. 12). Область определения этой функции
D(y) = R - множество всех действительных чисел, а область
значений E(y) = Z - множество всех целых чисел.

На рисунке 13 приведён график ещё одной числовой функции y = {x},
где {x} - обозначение дробной части числа x ( по определению
{x} = x - [x]).

 

 

 

3. Возрастающие и убывающие функции. Важными характеристиками
функций являются их возрастание и убывание.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
большее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) > f(x1).
Например, функция f(x) = 2x возрастающая ( на всей области
определения - на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем
2⋅ > 2⋅, то есть f(x2) > f(x1). У возрастающей
функции при увеличении аргумента соотвествующие точки графика
поднимаются (рисунок 14).

На рисунке 15 приведён график ещё одной возрастающей функции
y = x³. Действительно, при x2 > x1 имеем x2³ > x1³,
то есть f(x2) > f(x1).

Функция f(x) называется убывающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) < f(x1).

Например, функция f(x) = -2x убывающая ( на всей области
определения - на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем
-2⋅ < -2⋅, то есть f(x2) < f(x1). У убывающей
функции при увеличении аргумента соотвествующие точки графика
опускаются (рисунок 16).

 

Рассматривая график функции y = x² (рис. 17), видим, что
на всей области определения эта функция не является ни возрастающей,
ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения,
где эта функция возрастает и где убывает. Так как на промежутке
(-∞;0] - убывает, а на промежутке [0;+∞) функция
y = x² возрастает.(Докажите самостоятельно).

отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются
свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определении.

 

Например, если x² > 8, то есть x² > 2², то,
учитывая возрастание функции f(x) = x², получаем x > 2.

4. Чётные и нечётные функции. Рассмотрим функции, области
определения которых симметричны относительно начала координат, то
есть содержат вместе с каждым числом x и число (-x). Для таких
функций вводятся понятия чётности и нечётности.
Функция f называется чётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = f(x).

Например, функция y = x² (то есть функция f(x) = x²) -
чётная, поскольку f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Если функция f(x) чётная, то ее графику вместе с каждой точкой
M с координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно оси Oy (рис. 18), поэтому
и весь график чётной функции расположен симметрично относительно оси OY.

Например, график четной функции y = x² (рис. 17)
симметричен относительно Oy.
Функция f называется нечётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = -f(x).
Например, функция y = 1/x ( то есть функция f(x) = 1/x) - нечётная,
поскольку f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x).

 

 

Если функци f(x) нечётная, то её графику вместе с каждой точкой M с
координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;-f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно начала координат (рис. 19), поэтому
и весь график нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечётной функции y = 1/x (см. пункт 4 табл. 2) симметричен относительно
начала координат, то есть точки O.

 

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

---

УПРАЖНЕНИЕ 1. Найдите область определения функции: 1.y = x² + x         2.y = x/(x² + x)          3. y= √(x+5)
РЕШЕНИЕ 1) Ограничений для нахождения значений выражения x² + x нет, таким образом D(y) = R. 2) Область определения функции y = x/(x² + x) задаётся ограничением x² + x ≠ 0, поскольку знаменатель не может быть равным нулю. Выясним, когда x² + x = 0. Имеем x(x + 1) = 0, x = 0 или x = -1. Тогда область определения можно задать ограничениями x ≠ 0, x ≠ -1 или записать так: D(y) = (-∞;-1) ∪ (-1;0) ∪ (0;+∞) 3) Область определения функции y= √(x+5) задаётся ограничением x + 5 ≥ 0, то есть x ≥ -5, поскольку под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное выражение. Таким образом, D(y) = [-5;+∞)	КОММЕНТАРИЙ Поскольку все функции заданы формулами, то их области определения - это множество всех значений переменной x, при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы y = f(x). В курсе алгебры встречались только два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения: 1)если выражение записано в виде дроби A/B, то знаменатель B ≠ 0 2)если запись выражения содержит квадратный корень √ A, то подкоренное выражение A ≥ 0. В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, областью определения выражения были все действительные числа.
УПРАЖНЕНИЕ 2. Найдите область определения функции: y = x² - 3
РЕШЕНИЕ Составим уравнение x² - 3 = a. Оно равносильно уравнению x² = a +3, которое имеет решения, если a + 3 ≥ 0, то есть при a ≥-3. Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции E(f) = [-3;+∞), то есть y ≥ -3.	КОММЕНТАРИЙ Обозначим значение заданной функции f(x) ( то есть x² - 3) через a и выясним, для каких a можно найти соответствующее значение x ( при этом значении x значение f(x) = a). Тогда все числа a, для которых существует хотя бы один корень уравнения f(x) = a, войдут в область значений функции f(x). Множество всех таких a и составит область значений функции.
УПРАЖНЕНИЕ 3. Докажите, что при k ≠ 0 областью значений линейной функции y = kx + b является множество всех действительных чисел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Если kx + b = a (где k ≠ 0), то решение этого уравнения x = (a - b)/k существует для любого a ∈ R (k ≠ 0 по условию). Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число. Итак, ее область значений E(f) = R.	КОММЕНТАРИЙ Обозначим значение заданной функции f(x), то есть kx + b, через a и выясним, для каких a можно найти соответствующее значение x, такое, что f(x) = a. Множество всех таких значений a и будет составлять область значений функции f(x).
УПРАЖНЕНИЕ 4. Докажите, что линейная функция y = kx + b при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 - убывающей.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть x2 > x1 (тогда x2 - x1 >0). Рассмотрим разность f(x2) - f(x1) = kx2 + b - (kx1 + b) = k(x2 - x1). Поскольку x2 - x1 > 0, то при k > 0 имеем f(x2) - f(x1) > 0, таким образом, f(x2) > f(x1) и, значит, функция возрастает. При k < 0 имеем f(x2) - f(x1) < 0, таким образом, f(x2) < f(x1), значит, функция убывает.	КОММЕНТАРИЙ Для обснования возрастания или убывания функцииполезно помнить, что для доказательства неравенсства f(x2) > f(x1) или f(x2) < f(x1) достаточно найти знак разноссти f(x2) - f(x1). Функция f(x) = kx + b будет возрастающей, если из неравенства x2 > x1 будет следовать неравенство f(x2) > f(x1), а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности f(x2) - f(x1) (аналогичные рассуждения применимы и для убывания функции)
УПРАЖНЕНИЕ 5. Докажите, что: 1.Сумма двух возрастающих на множестве P функций всегда является возрастающей функцией на этом множестве. 2.Сумма двух убывающих на множестве P функций всегда является убывающей функцией на этом множестве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Пусть функции f(x) и g(x) являются возрастающими на одном и том же множестве P. Если x2 > x1, то f(x2) > f(x1) и g(x2) > g(x1). Складывая почленно эти нервенства, получаем: f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1) Это и означает, что сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. 2) Пусть функции f(x) и g(x) являются убывающими на одном и том же множестве P. Если x2 > x1, то f(x2) < f(x1) и g(x2) < g(x1). Складывая почленно эти нервенства, получаем: f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1) Это и означает, что сумма двух убывающих функций есть функция убывающая.	КОММЕНТАРИЙ Для доказательства того, что сумма двух возрастающих функций f(x) и g(x) является возрастающей функцией, достаточно доказать, что на множестве P из неравенства x2 >x1 следует неравенство: f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1) Аналогино, для доказательства того, что сумма двух убывающих функций f(x) и g(x) является убывающей функцией, достаточно доказать, что на множестве P из неравенства x2 > x1 следует неравенство: f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1)
УПРАЖНЕНИЕ 6. Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке её области определения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть функция f(x) является возрастающей и f(x1) = f(x2) (1) Допустим x1 ≠ x2. Если x1 ≠ x2, то x1 > x2 или x1 x2 имеем f(x1) > f(x2), что противоречит равенству (1). Таким образом, наше предположение неверно, и равенство f(x1) = f(x2) возможно только при x1 = x2. То есть возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке её области определения. Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.	КОММЕНТАРИЙ Докажем это утверждение методом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (функция может принимать одно и то же значение хотя бы в двух точках), и получить противоречие. Это будет означать, что наше предположение неверно, а верно данное утверждение.
УПРАЖНЕНИЕ 7. Исследуйте, какие из данных функций являются четными, какие нечётными, а какие ни чётными, ни нечётными. 1. y = 1/(x + 1)      2. y = x²      3. y = x³ + x
РЕШЕНИЕ 1) Область определения функции y = 1/(x+1): x ≠ -1, то есть она не симметрична относительно точки O (точка x = 1 принадлежит области определения, а точка x = -1 - нет). Таким образом, заданная функция не является ни чётной, ни нечётной. 2) Область определения функции y = x²: D(y) = R, то есть она симметрична относительно точки O. f(-x)=(-x) ² = x ²$; = f(x), следовательно, функция чётная. 3) Область определения функции y = x³ + x: D(y) = R, то есть она симметричная относительно точки . f(-x)=(-x)² + (-x) = - (x³ + x) = -f(x), значит функция нечётная.	КОММЕНТАРИЙ Для исследования функции y = f(x) на чётность или нечётность достаточно, во-первых, убедиться, что область опредления этой функции симметричная относительно точки O ( вместе с каждой точкой x содержит и точку -x), и, во-вторых, сравнить значения f(-x) и f(x).

УПРАЖНЕНИЯ К ПАРАГРАФУ

1. Найдите значение функции в указанных точках:
1) f(x) = x + 1/x в точках 2; -1; 3; a (a ≠ 0);
2) g(x) = x ² - 3 в точках 0; 1; -2; b;
3) t(x) = √ (x + 1) в точках 0; 3; -1; m (m > 0).

2. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1)y = 2x + 3;       2)y = √ (x + 3)        3)y = 1/(x+1)        4)y = x/(x² + 1)
5)y = √(x² - 1)        6)y = √(x² + 1)          7)y = √(x-1) + √(5-x)           8)y = √(x+3)/x
9)y = √ ((x² - 9)/(x - 3))        10)y =√ (x² - x)/(x + 1);      11)y = √(x)/(|x| - 2)     12)y = √(x² + x + 1)

3. Найдите область значений функции, заданной формулой:
1) f(x) = 5       2) f(x) = x      3) f(x) = x²       4) f(x) = √(x)
5) y = -3x +1       6) y = x² - 5         7) y = |x| + 3

4. Для функций, заданных своими графиками на рисункке 20, укажите область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания и значение каждой функции при x = 1.

 

5. Обоснуйте, что заданная функция является возрастающей (на её области определения):
1) y = 3x 2) y = x + 5 3) y = x³ 4) y = x⁵ 5) y = √(x)

6. Докажите, что на заданном промежутке функция возрастает:
1) y = -2/x, где x > 0 2) y = 1/x, где x < 0

7. Обоснуйте, что заданная функция является убывающей (на её области определения):
1) y = -3x 2) y = -x -1 3) y = -x³ 4) y = -x⁵

8. Докажите, что на заданном промежутке функция убывает:
1) y = 3/x, где x < 0 2) y = 5/x, где x > 0

9. Докажите, что функция y = x² на промежутке [0; + ∞) возрастает, а на промежутке (- ∞;0] убывает.

10. Используя утверждения, приведённые в примере 5, укажите какие из данных функций являются возрастающими, а какие - убывающими.
1) y = x³ + x 2) y = -x -x⁵ 3) y = x + √ (x) 4) y = -x³-x⁵

11. Используя утверждения, приведённые в примере 6:
1) Обоснуйте, что уравнение x³ + x = 10 имеет единственный корень x = 2;
2) Подберите корень уравнения √(x) + x = 6 и докажите, что других корней это уравнение не имеет.

12. Обоснуйте, что заданная функция является чётной:
1) y = x⁶ 2) y = 1/x² + 1 3) y = √ (x² + 1) 4) y = √ (|x| + x⁴)

13. Обоснуйте, что заданная функция является нечётной:
1) y = x⁵ 2) y = -1/x³ 3) y = x |x| 4) y = x³ - x