• Определение МНОГОЧЛЕНОВ от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной пе­ременной, например от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в на­туральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел запи­сать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандарт­ном виде), то получим выражение вида ахⁿ, где а — некоторое число. Поэто­му одночлен от одной переменной х — это выражение вида ах^п, где а — не­которое число, п — целое неотрицательное число. Если а  0, то показатель степени п переменной х называется степенью одночлена. Например, 25х⁶ —одночлен шестой степени, — х²/3— одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (по­скольку 0 = 0 • х = 0 • х² = 0 • х³...).

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одно­членов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

f (х) =  а_nхⁿ   + а_n-1 х^n-1 + ... + а₂х²+а₁х +а₀,                                       (1)

где коэффициенты а_n, а_{n-1, ….,} а_{0 –} некоторые числа_.

Если а_n   0, то этот многочлен называют многочленом п-й степени от переменной х. При этом член а_nх^п называют старшим членом многочлена f (х), число а_n — коэффициентом при старшем члене, а член а₀ — свобод­ным членом. Например, 5х³ - 2х + 1 — многочлен третьей степени, у кото­рого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) запи­сывают так:

f (x) = b₀xⁿ + b₁x^{n - 1} + ... + b _{n - 1}x + b _n, где b₀, b₁, ..., b_n — некоторые числа.

Т е о р е м а 1. Одночлены ахⁿ, где а ≠ 0, и bx^m, где b ≠ 0, тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и п = т.д.

Одночлен ахⁿ тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

aхⁿ = bхⁿ                                         (2)

выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тожде­ственно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что a = b. Сокращая обе части равенства (2) на a (где a ≠ 0 по условию), получаем xⁿ =x^m . При х = 2 из этого равенства имеем: 2ⁿ = 2^m. Поскольку 2ⁿ = 2• 2•... • 2 (n раз),

а 2^m = 2 • 2 •... • 2 (m раз), то равенство 2ⁿ = 2^m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства axⁿ = bx^m (a  0, b  0) по­лучаем, что a = b и n = m.

Если известно, что axⁿ = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен ax^п тождественно равен нулю при a = 0 (тогда axⁿ = 0 • xⁿ = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • хⁿ будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

Пусть f (x) = a_nхⁿ + a_n-1х^n-1  + ... + a₁х + a₀ = 0 (тождественно).

При n = 0 имеем f (х) = a₀ = 0, поэтому a₀ = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при n = k это утверждение также выполняется: если многочлен a_kх^k + a_k-1х^k-1 + ... + a₁х + a₀ тождественно равен 0, то

a_k = a_{k - 1} = ... = a₁ = a₀ = 0.

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

f (x) = a_k+1x^k + a_kх^k  + ... + a₁х + a₀ = 0.                     (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подстав­ляя в это равенство х = 0, получаем, что a₀ = 0. Тогда равенство (3) об­ращается в следующее равенство: a_k+1x^k+1+ a_kx^k  + ... + a₁x = 0. Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим

х (a_k+1 + x^k + a_kx^k-1  + ... + a₁) = 0.                    (4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при х  0, должно выполняться тождество a_k+1x^k + a_kx^k-1 + ... + a₁ = 0.

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от х⁰ до x^k .Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: a_{k + 1} = a_k = …= a₁ = 0. Но мы также доказали, что a₀ = 0,

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательно­го n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называ­ют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен f (х) = а_nхⁿ + а_n-1х^{n - 1} + ... + а₂х² + а₁х + а₀, а много­член g (x) = b_mx^m + b_{m - 1}x^{m - 1} + ... + b₂x² + b₁x + b₀. Рассмотрим многочлен f (x) - g (x). Поскольку многочлены f (x) и g (x) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) - g (x) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но f (x) - g (x) =(a₀ - b₀) + (a₁ - b₁) x +(а₂  - b₂) х²+ ... .

Тогда a₀ - b₀ = 0, a₁ - b₁ = 0, а₂ - b₂ = 0, ... . Отсюда a₀ = b₀, a₁ = b_1s а₂ = b₂, ... . Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, n боль­ше m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (m + 1)-го номера все коэффициенты a_t также будут равны нулю. То есть действительно многочлены f (x) и g (x) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах² + bх + с (а ≠ 0).

Получаем тождество:

(х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 = (ах² + bх + с)².      (5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравни­вая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

x4	1 = a2
x3	2 + 4 + 6 + 8 = 2ab
x2	2-4 + 2-6 + 2-8 + 4-6 + 4-8 + 6-8 = b2 + 2ac
x1	2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc
x0	2 - 4 - 6 - 8 + 16 = c2

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1.

При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b и с последние два равенства также выпол­няются. Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, b = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а = -1, b = -10, с = -20).

Таким образом, (х + 2)(х+ 4)(х+ 6)(х+8) + 16=(х² +10х + 20)².

Упражнения

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

1)f (x) = 2x² - (3 - а) x + b, g (x) = cx³ + 2dx² + x + 5;

2)f (x) = (а + 1) x³ + 2, g (x) = 3x³ + bx² + (c - 1) x + d.

2. Найдите такие числа a.b.c чтобы данное равенство a(x²-1)+b(x-2)+c(x+2)=2 выполнялось при любых значениях x.

3. Докажите тождество:

1)(x  - 1)(х +1)(х² - х + 1)(х² + х +1) =х⁶ - 1;

2)1+х⁴=(1+х +х²)(1-х +х²).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

1)(х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) + 1;

2)(х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а⁴.

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х⁴ + 4х³ + 8х² + 3х + 2 = (3х² + ах + 1)(х² + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х²+x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2