10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x+a0  имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q  несократимая), то р является делителем свободного члена (a0), а q — делителем коэффициента при стар­шем члене аn.

     Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

an * pn/qn + an-1 * pn-1/qn-1 + … + a1 * p/q + a0 = 0.

(1)

            Умножим обе части равенства (1) на  (q ≠ 0). Получаем

аnрn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1 + a0qn = 0.

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a0qn = -(аnрn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a0qn может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a0 делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a0.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

anpn = -(an-1pn-1q + … + a1pq-1 + a0qn) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то an делится на q, следовательно, q — де­литель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a0. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент аn = 1, то делителями аn могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х3 – х2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

2х3 – х2 + 12х – 6 = (x – 1/2) (2x2 + 12).

Многочлен 2х2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х4 + 3х3 – 2х2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х3 + 5х2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем  Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х2 + х +1).

Квадратный трехчлен 2х2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х4 + х3 + 3х2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

х4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2 + ах + b)(х2 + сх + d),

(3)

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х4 + х3 + 3х2 + х + 6 = x4 + cx3 + dx2 +

                                                      + ax3 + acx2 + adx +

                                                                    + bx2 + bcx + bd.

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

x4 + х3 + 3х2 + х + 6 = (х2 – х + 2)(х2 + 2х + 3).

(5)

Поскольку квадратные трехчлены х2 – х + 2 и х2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

  1. Найдите целые корни многочлена:

1) х3 – 5х + 4;

2) 2x3 + x2 – 13x + 6;

3) 5х3 + 18х2 – 10х – 8;

4) 4х4 – 11х2 + 9х – 2.

  1. Найдите рациональные корни уравнения:

1) х3 – 3х2 + 2 = 0;

2) 2х3 – 5х2 – х + 1 = 0;

3) 3х4 + 5х3 – х2 – 5х – 2 = 0;

4) 3х4 – 8х3 – 2х2 + 7х – 2 = 0.

  1. Разложите многочлен на множители:

1) 2х3 – х2 – 5х – 2;

2) х3 + 9х2 + 23х +15;

3) х4 – 2х3 + 2х – 1;

4) х4 – 2х3 – 24х2 + 50х – 25.

  1. Найдите действительные корни уравнения:

1) х3 + х2 – 4х + 2 = 0;

2) х3 – 7х – 6 = 0;

3) 2х4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0;

4) 2х3 – 5х2 + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

1) х4 + х3 – 5х2 + 13х – 6;

2) х4 – 4х3 – 20х2 + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х2 + bх + с)2 – (mх + n)2: :

1) х4+ 4х – 1;

2) х4 – 4х3 – 1;

3) х4 + 4а3х – а4.