Метод замены множителей

При решении различных видов алгебраических неравенств с помощью стандартных методов у школьников возникают трудности определенного характера: сложность выкладок, громоздкость и т. п.  

Метод замены множителей является одним из достаточно эффективных и практичных методов решения алгебраических неравенств, основывающийся на таких понятиях как равносильность, рационализация, алгебраизация. Применение данного метода сводит решение исходного неравенства к более простому – решаемому методом интервалов для рациональных функций.

В виде плана опишем суть решения неравенств методом замены множителей:

1. Приводим неравенство к виду

2. Производим замену любого множителя из числителя или знаменателя на другой множитель, который является знакосовпадающим, то есть для каждого х из области допустимых значений оба множителя одновременно равны нулю или имеют один и тот же знак.

Замечание: Важную роль в данном случае играет принцип монотонности функций входящих в неравенства. Исходя из определения строго монотонной функции, сформулируем определения строго возрастающей и строго убывающей функции.

 Функция является строго возрастающей тогда и только тогда, когда для любых двух значений u₁ и u₂ из области определения функции разность (u₁ - u₂) является знокосовпадающей с разностью f(u₁) - f(u₂). 

Функция является строго убывающей тогда и только тогда, когда для любых двух значений u₁ и u₂ из области определения функции разность (u₁ - u₂)  является знокосовпадающей с разностью -(f(u₁) - f(u₂))

3. Решаем преобразованное в ходе замены рациональное неравенство методом интервалов.

4. Записываем ответ.

Некоторые замены множителей

Запишем некоторые следствия данных замен в виде таблицы