На­пом­ним дру­гие важ­ные три­го­но­мет­ри­че­ские со­от­но­ше­ния:

1.       – ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство;

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра, со­глас­но ко­то­рой сумма квад­ра­тов ка­те­тов равна квад­ра­ту ги­по­те­ну­зы:

α=b

Со­глас­но пра­ви­лу на­хож­де­ния ги­по­те­ну­зы:

 

АВ=аsinα=c

Рис. 2

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1 {\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}	∀ α {\displaystyle \forall \alpha }
1.2	tg 2 ⁡ α + 1 = 1 cos 2 ⁡ α = sec 2 ⁡ α {\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }	α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }
1.3	ctg 2 ⁡ α + 1 = 1 sin 2 ⁡ α = cosec 2 ⁡ α {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }	α ≠ π n , n ∈ Z {\displaystyle \alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z} }
1.4	tg ⁡ α ⋅ ctg ⁡ α = 1 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}	α ≠ π n 2 , n ∈ Z {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},n\in \mathbb {Z} }

 

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на cos 2 ⁡ α {\displaystyle \cos ^{2}\alpha } и sin 2 ⁡ α {\displaystyle \sin ^{2}\alpha } соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β {\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
2.2	cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β {\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
2.3	tg ⁡ ( α ± β ) = tg ⁡ α ± tg ⁡ β 1 ∓ tg ⁡ α tg ⁡ β {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}
2.4	ctg ⁡ ( α ± β ) = ctg ⁡ α ctg ⁡ β ∓ 1 ctg ⁡ β ± ctg ⁡ α {\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).