Пространственные фигуры: призма и пирамида

Тело и его граница. Изучите рисунок, затем проверьте формулы на конкретной модели.

Знакомые тела

Куб, прямоугольный параллелепипед, призма и пирамида — пространственные фигуры. Они занимают место в пространстве. Многоугольник лежит в плоскости, а многогранник ограничен плоскими многоугольниками. Не путайте тело с рисунком: на листе мы видим лишь его изображение.

Грани, рёбра, вершины

Грани — многоугольники на поверхности тела. Две соседние грани встречаются по ребру. Концы рёбер — вершины. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. На рисунке невидимые рёбра обычно показывают пунктиром; они существуют, даже если скрыты за передними гранями.

Призма

У призмы два равных многоугольных основания в параллельных плоскостях. Соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания могут быть треугольниками, четырёхугольниками и другими многоугольниками. Здесь рассматриваем обычные выпуклые призмы без самопересечений.

Считаем элементы призмы

Пусть в основании n сторон. В двух основаниях 2n вершин и 2n рёбер. Ещё n рёбер соединяют основания. Поэтому всего 3n рёбер. К n боковым граням прибавляем два основания: получаем n + 2 грани. У треугольной призмы 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней.

Пирамида

У пирамиды одно многоугольное основание и одна общая вершина вне его плоскости. Каждая боковая грань — треугольник. При n сторонах основания боковых граней n, всех граней n + 1, вершин n + 1. Рёбер 2n: n в основании и n боковых.

Проверяем подсчёт

У четырёхугольной пирамиды 5 вершин, 8 рёбер и 5 граней. Не считайте общую вершину несколько раз. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому сложение числа сторон всех граней даёт двойное число рёбер. Для рассмотренных выпуклых многогранников полезна проверка: В − Р + Г = 2.

Что не является многогранником

У шара, конуса и цилиндра есть кривые поверхности. Они не являются многогранниками. Плоское круглое основание цилиндра не превращает всю его поверхность в набор многоугольных граней. В этом разделе формулы числа граней относятся к призмам и пирамидам, а не ко всем телам подряд.

Проверьте себя