Итоговая практика закрепляет свойства делимости, простые разложения, НОД и НОК. Не ограничивайтесь вычислением: объясните, почему выбранный делитель наибольший, кратное наименьшее, а модель соответствует условию.
Памятка
НОД — наибольший положительный общий делитель. НОК — наименьшее положительное общее кратное. В НОД входят общие простые множители с меньшими показателями; в НОК — все нужные множители с большими показателями.
Двенадцать заданий
1. Делится ли 36 + 48 на 12?
Да. Оба слагаемых кратны 12, сумма равна 84.
2. Если 2 и 3 не делятся на 6, может ли их произведение делиться на 6?
Да: 2 · 3 = 6. Обратное свойство произведения неверно.
3. При делении 23 на 5 остаток 3. Остаток для 28?
Тоже 3: прибавили один делитель.
4. Разложите 84 на простые множители.
84 = 2² · 3 · 7.
5. Сколько раз встречается 3 в разложении 108?
108 = 2² · 3³. Три раза.
6. Найдите НОД(24; 36).
12.
7. Найдите НОК(24; 36).
72. Проверка: 12 · 72 = 24 · 36.
8. Взаимно простые ли 8 и 15?
Да, НОД равен 1. При этом оба числа составные.
9. Найдите НОД(7; 35) и НОК(7; 35).
НОД = 7, НОК = 35.
10. Найдите НОД(1; 18) и НОК(1; 18).
НОД = 1, НОК = 18.
11. 24 яблока и 36 груш распределяют в максимум одинаковых наборов без остатка. Число наборов и состав?
12 наборов, в каждом 2 яблока и 3 груши.
12. Сигналы через каждые 6 и 8 мин совпали сейчас. Через сколько минут впервые совпадут снова?
Через 24 минуты: это НОК(6; 8).
Разбираем типичные ошибки
В задании 1 свойство суммы применимо, потому что оба слагаемых делятся на 12. Если одно из них не кратно делителю, нужно отдельно проверить условие. Задание 2 показывает, что верное прямое свойство нельзя автоматически обращать.
В задании 3 добавилась одна полная группа из пяти. Остаток не изменился. Проверка: 28 = 5 · 5 + 3, причём 3 меньше 5.
В заданиях 4–5 все окончательные множители должны быть простыми. Для 108 запись 4 · 27 ещё не завершает разложение. После раскрытия обоих составных множителей получаем две двойки и три тройки.
В заданиях 6–7 используются одни разложения, но показатели выбирают по-разному. Для НОД нельзя брать лишние множители, которых не хватает одному из чисел. Для НОК нужно обеспечить все множители каждого исходного числа.
В задании 8 взаимная простота относится к паре, а не к простоте каждого числа отдельно. Числа 8 и 15 составные, но общих простых делителей у них нет.
Задания 9–10 проверяют особые случаи. Если одно число делит другое, НОД равен меньшему, НОК — большему. Единица делит любое натуральное число, поэтому НОД с единицей всегда равен 1.
В задании 11 число наборов должно делить оба количества. После нахождения максимума нужно ещё разделить каждое количество на 12. В задании 12 искомое время, наоборот, должно быть кратно обоим периодам.
Обратная проверка
Убедитесь, что НОД делит оба числа, а оба числа делят НОК. Затем проверьте произведение НОД и НОК: оно должно совпасть с произведением двух исходных натуральных чисел.
Для наборов умножьте состав одного набора на число наборов. Для расписания разделите найденное время на каждый период: должны получиться целые количества интервалов. Проверка общей кратности не заменяет доказательство первого положительного совпадения.
Как тренироваться
Базовый уровень использует меньшие числа, средний и повышенный расширяют диапазон и длину простых разложений. Свойства, единица, равные и взаимно простые числа закрепляются на всех уровнях.
Для «Десанта» выделен короткий банк с небольшими числами. Длинные разложения и дополнительный расчёт состава набора находятся в остальных играх. Регулировка скорости позволяет дать себе больше времени на чтение.