Деление нацело означает деление без остатка. Если 24 предмета можно разложить в группы по шесть, получив ровно четыре группы, то 24 делится на 6. Числа 24 и 6 связаны, но называются по-разному: 6 — делитель числа 24, а 24 — кратное числа 6.
Делитель числа
Положительное натуральное число d называют делителем числа n, если n делится на d без остатка.
Например, 24 : 6 = 4, поэтому 6 — делитель 24. Но 24 : 5 = 4 (ост. 4), поэтому 5 делителем 24 не является. При проверке требуется именно нулевой остаток.
Каждое положительное натуральное число делится на 1 и на себя. У числа 1 эти два названия обозначают один и тот же делитель: у единицы только один положительный делитель.
Как найти все делители
Удобно подбирать пары множителей, произведение которых равно данному числу. Для 24 получаются пары 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6.
Запишите найденные делители по возрастанию и уберите повторы. Для квадрата числа средний делитель встречается в паре с самим собой: 36 = 6 · 6. Число 6 нужно включить в общий список один раз.
Пары для 36: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6. Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Всего девять, а не десять.
Кратное числа
Положительное число m называют кратным числа n, если m делится на n без остатка. Положительные кратные получают умножением n на 1, 2, 3 и так далее.
Для 6 положительные кратные начинаются так: 6, 12, 18, 24, 30, … Их бесконечно много. Наименьшее положительное кратное равно самому числу, а наибольшего нет.
В заданиях этого курса, где сказано «положительное кратное», нуль не включается. Это уточнение важно: 0 делится на любое ненулевое число, но положительным числом не является.
Не меняйте роли местами
Из равенства 7 · 5 = 35 следует: 7 и 5 — делители 35; 35 — кратное и 7, и 5. Утверждение «35 — делитель 7» неверно. Чтобы проверить себя, произнесите целиком: «7 делит 35 нацело».
Делителей положительного числа конечное количество: ни один из них не больше самого числа. Кратные, наоборот, продолжаются без конца. Вопрос «найдите все делители» можно завершить списком, а для всех кратных потребуется правило продолжения.
Проверьте себя
1. Назовите все положительные делители 18.
1, 2, 3, 6, 9, 18. Пары: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6.
2. Назовите первые пять положительных кратных 7.
7, 14, 21, 28, 35.
3. Является ли 8 делителем 30?
Нет: 30 : 8 = 3 (ост. 6).
4. Найдите наибольший делитель и наименьшее положительное кратное числа 45.
Оба равны 45, но отвечают на разные вопросы.