Когда нужно сложить несколько одинаковых количеств, удобно использовать умножение. Четыре одинаковые группы по три предмета можно пересчитать сложением 3 + 3 + 3 + 3 или записать короче: 3 · 4 = 12. В этом уроке разберём смысл произведения, умножение столбиком и свойства, которые помогают считать удобнее.
Множители и произведение
6 · 8 = 48
6 и 8 — множители, 48 — значение произведения. Запись 6 · 8 тоже называют произведением.
Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 8 = 48. Если слагаемые различны, такую замену сразу сделать нельзя: сначала нужно разобраться, какие группы одинаковы.
Умножение на единицу и нуль
Умножение на 1 не меняет число: 456 · 1 = 456. Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение равно нулю: 456 · 0 = 0. Эти два правила нельзя смешивать.
Для умножения натурального числа на 10, 100 или 1000 к его записи дописывают соответственно один, два или три нуля. Например, 37 · 100 = 3700. Это правило относится к целым числам в десятичной записи.
Вычисление столбиком
Сначала умножьте число на единицы второго множителя, затем на его десятки. Второе промежуточное произведение относится к десяткам, поэтому его запись сдвигают на один разряд влево. После этого результаты складывают.
236 · 14. Получаем 236 · 4 = 944 и 236 · 10 = 2360. Складываем: 944 + 2360 = 3304. Если забыть разрядный сдвиг, вместо 2360 получится 236 и ответ будет неверным.
В каждом отдельном умножении также возможен перенос в следующий разряд. Например, при умножении 236 на 4 число 24 единицы превращается в 4 единицы и 2 десятка, которые нужно учесть дальше.
Свойства произведения
a · b = b · a — переместительное свойство.
(a · b) · c = a · (b · c) — сочетательное свойство.
a · (b + c) = a · b + a · c — распределительное свойство.
Можно переставлять множители и объединять их в удобные группы. Например, 25 · 17 · 4 = (25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением. Вычислим 38 · 12 = 38 · (10 + 2) = 380 + 76 = 456. Умножить нужно каждое слагаемое, а не только первое.
Как заметить ошибку
Перед точным вычислением оцените размер ответа. Произведение 236 · 14 больше 2360, потому что второй множитель больше 10. Ответ 1180 сразу противоречил бы этой оценке. Для проверки можно изменить группировку или выполнить обратное действие — деление, которое разберём в следующем уроке.
Проверьте себя
1. Вычислите 148 · 6.
888. При умножении учтите перенос через разряд.
2. Вычислите удобно: 25 · 13 · 4.
(25 · 4) · 13 = 1300.
3. Найдите 37 · 12, раскрыв скобки.
37 · (10 + 2) = 370 + 74 = 444.
4. Найдите 508 · 0 и 508 · 1.
0 и 508 соответственно.