§ 3. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
 

Теорема Ферма

 Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Доказательство. Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение функции в интервале (а, в) и существует f'(с). По определению производной f'(с)=. При любом знаке Dх f(c+Dx)-f(c)≤0, так как f(с) – наибольшее значение функции в (а, в).

Если Dх>0, то  и, следовательно, f'(с)≤0. Если же Dх<0, то  и f'(с) ≥0. Следовательно, f'(с)=0.

Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.

Теорема Ролля

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b) = 0. Тогда ее производная f'(х) обращается в нуль хотя бы в одной точке сÎ( a, b).

Доказательство. По условию функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция постоянна на [a, b] и ее производная f'(х) = 0 во всех точках (a, b). Пусть теперь М ¹ m, тогда хотя бы одно из этих чисел, например, m ¹ 0. Поэтому существует точка сÎ( a, b) такая, что f(с) = m. Следовательно, по теореме Ферма f'(с) = 0.

Геометрически теорема означает, что если функция y = f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка (с; f(с)), где сÎ(a;b), такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельна осиОх.

Теорема Лагранжа

 Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Доказательство. Составим уравнение хорды АВ, соединяющей точки графика функции A(a; f(a)) и B(b; f(b)):

.

Отсюда ордината хорды у=. Рассмотрим функцию . Функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), так как функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на интервале (a,b).  . Таким образом, функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка сÎ(a, b), что , откуда получаем утверждение теоремы. Геометрически теорема Лагранжа означает, что существует хотя бы одна точка сΠ(а, b) такая, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f (с)), параллельна хорде АВ.

 

Теорема Коши

 Если функции f (х) и (х) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы в интервале (а, b), причем , то существует точка сΠ(а, b) такая, что

                   

Доказательство. Рассмотрим функцию

F(х) = [f(х)-f(а)] – . [(х)-(а)].

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет теореме Ролля (аналогично тому, как это было сделано в предыдущей теореме). Следовательно, существует точка сΠ(a, b.) такая, что . 

Отсюда получаем утверждение теоремы.

Замечание.

Равенства  и

 называются соответственно формулами Лагранжа и Коши.

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя)

Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хΠ(а, b) и f (а) = (а) = 0.

Тогда, если существует , то существует ,причем  = .

Доказательство. Возьмем на [а, b] какую-нибудь точку х  а. Применяя формулу Коши, получим , где сΠ(а; х).

По условию f (а) = (а) = 0, значит . Если х а, то и са, так как сΠ(а, х).

При этом, если существует =А, то существует и  = А.

Поэтому =  =   = = А.

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции

f(х) и (х)не определены при х = а, но  f(х) = 0,

(х) = 0.

Замечание 2. Если и производные  удовлетворяют всем тем условиям, которые наложены на функции в теореме Лопиталя, то применяя правило Лопиталя к отношению , получаем  =  и так далее. Теорема имеет место и в том случае, если f(х) и (х) не определены

 при х = a, но f(х) = ∞, (х) = ∞, а также в случае а = ∞.

Таким образом, правило Лопиталя можно применять к неопределенностям вида .

Пример1 

Здесь три раза было применено правило Лопиталя.

Пример 2.   =  .

Здесь два раза было применено правило Лопиталя.

К применению правила Лопиталя можно свести с помощью некоторых преобра­зований и случаи других видов неопределенностей: 0. , 00, 0, 1∞, . Рас­смотрим некоторые из этих случаев на примерах.

Пример 3. x2. ln х (0. ) = (применим правило Лопиталя) = -

Пример 4. (secx – tgx) () = ) = (применим правило Лопиталя) = .

Пример 5. Найти . Обозначим у = xх. Тогда  (применим правило Лопиталя) =               

Таким образом , откуда = e0 = 1.