§ 6. Числовые и буквенные выражения. Формула

          Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс")      -     знак операции сложения,

- (читаем "минус")      -   знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить") -  знак операции умножения,

: (читаем "разделить")    -  знак операции деления.

          Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки. Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

          Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Таблица 1

          Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки.  Например, запись a + b –  3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв  в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными. 

          Подставив в буквенное выражение числа  вместо букв   и  вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

          Буквенное выражение может не иметь значения,  если при подстановке   значений букв получается  числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.  Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a –  b  не имеет значения  при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея  всего 10 яблок (a = 10),  нельзя отдать из них 17          (b = 17)!  В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Таблица 2

          Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для  любого натурального  числа b, частное b : 0 не определено. 

          Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой. Например, если стороны семиугольника равны  a, b, c, d, e, f, g,  то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:                           
 

p = a + b + c + d + e + f + g

          При  a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

          При  a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника  p = a + b + c + d + e + f + g =12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18= 134.

Блок 6.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из § 6.  Для этого в пустые клетки впишите  слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением  клеток словаря еще раз внимательно просмотреть § 6.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.
    

2. Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить,  «:» (разделить).
                         

3. Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки
    

      4.  Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.
          

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.
    

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).
   

7. Общее название букв в буквенном выражении.
   

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

   10.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.
    

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

                                 Список терминов и определений

                                        Таблица ответов

Блок 6.2. Установите соответствие

       Установите соответствие между заданием  в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде:   1а,   2г,    3б…

Ввариант 1

Вариант 2

 Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

 Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что  их можно решать на компьютере, проверять решения и  сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но  решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

16. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
17. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m, выраженными в м
18. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
19. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
20. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
21. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
22. Разность меньше уменьшаемого на 7
23. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом  из рядов  палубы m мест, рядов на палубе  на n больше, чем мест в ряду
24. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
25. m = 8,  n = 10,   k = 5
26. m = 6, n = 8,     k = 15
27.  t = 121,  x = 1458

ТО:

30. Значение данного выражения
31. Буквенное выражение для периметра имеет вид
32. Периметр, выраженный в сантиметрах
33. Формула пути s, пройденного автомобилем
34. Формула скорости v, движения туриста
35. Формула времени t, движения туриста
36. Путь, пройденный автомобилем в километрах
37. Скорость туриста в километрах в час
38. Время движения туриста в часах
39. Первое число равно…
40. Вычитаемое равно….
41. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
42. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
43. Буквенное выражение для возраста Кати
44. Возраст Кати
45. Координата точки В, если координата точки С равна t
46. Координата точки D, если координата точки С равна t
47. Координата точки А, если координата точки С равна t
48. Длина отрезка BD на числовом луче
49. Длина отрезка CА на числовом луче
50. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1;  б) s=b ∙d;  в) 9;   г) 40;   д) b + c + d + m;  е) 7;   ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел;   з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k;   и) (m + n) – k;   к) 6;   л) 15;       м) 3760;   н) t –  3;  о) фигура не может быть  треугольником;   п) 22;    р) t – 3 ∙ 7;   с) 0;   т) 32;   у) 59600;   ф) 6019;   х) 2880;  ц) 10378;  ч)1440;   ш) на ноль делить нельзя;  щ) 13;   ы) 1800;  э) 496;  ю) 2;   я) 12;   аа) 14;   бб) 5;   вв) 35;    дд)  79200;   ее) 1900;   жж) 118;     зз) 18;   ии) 12800;  кк) 98;   лл) 1458;   мм) v = c : m;   нн) 100;   оо) 19900;   пп) t = b : m; рр) 2520;   сс) c + d + m;   тт) x;   уу) 1579;   фф) t + 2;   хх) 10206;   цц) 135;   чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x;   щщ) x – 2;   ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7;   ээ)  t + x ∙ 7;   юю) 10192;   яя) t + x;   ааа) 123;       ббб) 1456;   ввв) 10327.

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70,  время выполнения 2 – 3  часа,  сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать  следующую шкалу оценок.

Обучающая игра «Сокровища подземелья»

       На игровом поле иллюстрация к  книге Р.Киплинга “Маугли”.  На пяти сундуках навесные замки, на их обратных сторонах указано число очков, получаемое командой, если ей удается “открыть сундук”. Это число для каждого из сундуков различно: для деревянного – 1 очко, для оловянного – 2,  для медного – 3, для серебряного – 4, для золотого – 5. Чтобы открыть сундук, надо выполнить “задание Белой кобры”.  

 Задание общее для всех сундуков

Прочитайте, как были истрачены деньги каждого из сундуков, и составьте буквенного выражение для этих денег. Затем подставьте значения переменных и рассчитайте количество денег, которое находилось   в сундуке сначала. Это число надо вводить в ответ  компьютерной версии игры. Ответы под замком!

Деревянный сундук.  Было куплено а книг по цене 50 рублей, b картин по цене 250 рублей, d стульев по цене 300 рублей. В сундуке осталось 250 рублей. Значения переменных: а = 40, b = 8,  d = 20.

Оловянный сундук. Для ремонта школы было куплено  d  кг краски по цене 120 рублей, k мешков цемента по цене 200 рублей, m светильников по цене 280 рублей. В сундуке ещё осталась сумма денег, как в деревянном сундуке, но округлённая до тысяч. Значения переменных: d= 12,  к = 16,  m = 25.

Медный сундук. Из этого сундука взяли округлённое до сотен количество денег оловянного сундука. Если в него доложить 5200 рублей, то на эти деньги можно купить m столов по цене n рублей и 5 компьютеров по цене р рублей. Значения переменных: m = 10,  n = 400 (рублей),p = 6000 (рублей).

Серебряный сундук. Из серебряного сундука взяли количество денег, равное округлённой до тысяч сумме денег медного сундука. Затем доложили 12000 рублей и купили x микроскопов по цене y рублей и r химических наборов по цене z рублей. Значения переменных: х = 15, y = 8600 (руб), r = 16, z =1500 (руб).

Золотой сундук. За деньги этого сундука был отремонтирован кабинет математики, на что ушло количество денег, равное деньгам серебряного сундука. На оставшиеся деньги планировалось купить для спортзала:  маты по цене r  (рублей), мячи по не  p (рублей), спортивную форму по цене  z (рублей). Каждого из предметов по   k штук.   Однако цена  мяча и формы  увеличилась на m  рублей. Поэтому пришлось взять  в кредит 5200 рублей. Значения переменных: k = 20 , r = 3200,   m = 200,   p = 400,   z = 1200.

иʞwɐε ɐн иmıqw dоɔdʎʞ ǝɯиɓǝʚɐн wɐҺɐɓɐε ʞ ıqɯǝʚɯо qɯɐнεʎ ıqƍоɯҺ 

Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

       В различных местах игрового поля  мышата Толстяк и Гений устроили засады, на поле они пронумерованы. Всего пять засад. Наводите курсор на номер засады и получайте задания. Ответы вводите в окна на экране. Если ответы верны, значит, засада найдена, а мышата просят у Леопольда прощения. В случае ошибки игру надо повторить.

 Западня №1

Определите каждую из  незакрашенных долей и введите в ответ. Используйте для написания дробей косую черту. Например: 1/2, 1/3, 1/4 и т.д.

Западня №2

Переведите в арабские цифры и решите:

1. IX + III = ?
2. VI – IV = ?
3. II + Х1 = ?
4. X – V = ?