Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.
1. В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия - наука об "измерении земли". Это слово происходит от латинских слов: geo – земля и metr - мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты, их свойства, их связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты – это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты, например, геометрические фигуры и тела, образованы из простейших.
Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а – бэ», «бэ– а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрезка.
Единицы длины: м – метр, см - сантиметр, дм – дециметр, мм – миллиметр, км – километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.
Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.
Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Тоска С называется началом луча.
2. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM - треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.
Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости. Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).
Блок 1. Дополнительный
Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).
Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 6). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ») (рисунок 7).
Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях.
Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунки 8 и 9).
Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.
Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 11).
Наиболее простая из всех линий – это прямая. Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение – длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 12).
При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, АD или DА, DВ или ВD.
Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут . Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:
Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну.
Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).
Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы - вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.
Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее вершины называются вершинами многоугольника, а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL:
Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ). Периметры многоугольников на рисунке 13:
PABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.
PRTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.
Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ,… (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д.).
Блок 2. Словарь.
Составьте словарь новых терминов и определений из §2. Для этого в пустые строки таблицы впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице 2 укажите номера терминов в соответствии с номерами строк. Рекомендуется перед заполнением словаря еще раз внимательно просмотреть §2 и блок 2.1.
Блок 3. Установите соответствие (УС).
Геометрические фигуры.
Блок 4. Самопроверка.
Измерение отрезка с помощью линейки.
Напомним, что измерить отрезок АВ в сантиметрах, значит, сравнить его с отрезком длиной 1см и узнать, сколько таких отрезков по 1см помещается в отрезке АВ. Чтобы измерить отрезок в других единицах длины, поступают подобным же образом.
Для выполнения заданий работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы. При этом правую колонку рекомендуем закрыть листом бумаги. Затем вы сможете сопоставить свои выводы с решениями, приведенными в таблице справа.
Блок 5. Установление последовательности действий (УП).
Построение отрезка заданной длины.
Вариант 1. В таблице записан перепутанный алгоритм (перепутанный порядок действий) построения отрезка заданной длины (например, построим отрезок ВС = 7см). В левом столбце указание к действию в правом результат выполнения этого действия. Переставьте строки таблицы так, чтобы получился верный алгоритм построения отрезка заданной длины. Запишите верную последовательность действий.
Вариант 2. В следующей таблице приведен алгоритм построения отрезка КМ = n см, где вместо n можно подставить любое число. В этом варианте нет соответствия между действием и результатом. Поэтому необходимо установить последовательность действий, затем для каждого действия выбрать его результат. Ответ запишите в виде: 2а, 1в, 4б и т.д.
Вариант 3. Используя алгоритм варианта 2, постройте в тетради отрезки при n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.
Блок 6. Фасетный тест.
Отрезок, луч, прямая, плоскость.
В задачах фасетного теста используются рисунки и записи под номерами 1 – 12, приведённые в таблице 1. Из них формируются данные задач. Затем к ним добавляются требования задач, которые в тесте помещены после соединительного слова «ТО». Ответы к задачам помещены после слова «РАВНО». Набор задач приведён в таблице 2. Например, задача 6.15.19 составляется следующим образом: «ЕСЛИ в задаче используется рисунок 6, затем к нему добавляется условие под номером 15, требование задачи стоит под номером 19.»
Содержание теста.
13) построить четыре точки так, чтобы каждые три из них не лежали на одной прямой;
14) провести через каждые две точки прямую;
15) каждую из поверхностей коробки продлить мысленно во все стороны до бесконечности;
ТО:
16) количество различных отрезков на рисунке;
17) количество различных лучей на рисунке;
18) количество различных прямых на рисунке;
19) количество получившихся различных плоскостей;
20) длина отрезка АС в сантиметрах;
21) длина отрезка АВ в километрах;
22) длина отрезка DC в метрах;
23) периметр треугольника PRQ;
24) длина ломаной QPRMN;
25) частное периметров треугольников RMN и PRQ;
26) длина отрезка ED;
27) длина отрезка BE;
28) количество получившихся точек пересечения прямых;
29) количество получившихся треугольников;
30) количество частей, на которые оказалась разделена плоскость;
31) периметр многоугольника, выраженный в метрах;
32) периметр многоугольника, выраженный в дециметрах;
33) периметр многоугольника, выраженный в сантиметрах;
34) периметр многоугольника, выраженный в миллиметрах;
35) периметр многоугольника, выраженный в километрах;
РАВНО (равна, имеет вид):
а) 70; б) 4; в) 217; г) 8; д) 20; е) 10; ж) 8∙b; з) 800∙b; и) 8000∙b; к) 80∙b; л) 63000; м) 63; н) 63000000; о) 3; п) 6; р) 630000; с) 6300000; т) 7; у) 5; ф) 22; х) 28
Блок 7. Давай поиграем.
7.1. Математический лабиринт.
Лабиринт состоит из десяти комнат с тремя дверьми каждая. В каждой из комнат находится по одному геометрическому объекту (он нарисован на стене комнаты). Сведения об этом объекте находятся в «путеводителе» по лабиринту. Читая его, надо переходить в ту комнату, о которой написано в путеводителе. Проходя по комнатам лабиринта, рисуйте свой маршрут. В двух последних комнатах имеются выходы.
Путеводитель по лабиринту
- Войти в лабиринт надо через комнату, где находится геометрический объект, у которого нет начала, но есть два конца.
- Геометрический объект этой комнаты не имеет размеров, он подобен далёкой звезде на ночном небе.
- Геометрический объект этой комнаты составлен из четырёх отрезков, имеющих три общие точки.
- Этот геометрический объект состоит из четырёх отрезков с четырьмя общими точками.
- В этой комнате находятся геометрические объекты, каждый из которых имеет начало, но не имеет конца.
- Здесь два геометрических объекта, не имеющих ни начала, ни конца, но с одной общей точкой.
- Представление об этом геометрическом объекте даёт полет артиллерийских снарядов
(траектория движения).
- В этой комнате находится геометрический объект с тремя вершинами, но это не горные
вершины.
- Об этом геометрическом объекте даёт представление полёт бумеранга (охотничье
оружие коренных жителей Австралии). В физике эту линию называют траекторией
движения тела.
- Представление об этом геометрическом объекте даёт поверхность озера в
безветренную погоду.
Теперь можете выходить из лабиринта.
В лабиринте находятся геометрические объекты: плоскость, незамкнутая линия, прямая, треугольник, точка, замкнутая линия, ломаная, отрезок, луч, четырёхугольник.
7.2. Периметр геометрических фигур.
В рисунках выделите геометрические фигуры: треугольники, четырёхугольники, пяти – и шестиугольники. С помощью линейки (в миллиметрах) определите периметры некоторых из них.
7.3. Эстафета геометрических объектов.
В заданиях эстафеты есть пустые рамки. В них запишите пропущенное слово. Затем перенесите это слово в другую рамку, куда показывает стрелка. При этом можно изменять падеж этого слова. Проходя по этапам эстафеты, выполняйте требуемые построения. Если эстафету пройдёте правильно, то в конце получите слово: периметр.
7.4. Крепость геометрических объектов.
Прочитайте § 2, выпишите из его текста названия геометрических объектов. Затем впишите эти слова в пустые клетки «крепости».
